WisFaq!

Reeks die voldoet aan differentiaalvergelijking

We zoeken een functie f(x)=sommatie (van k=0 naar k=0neindig)a_(k)x^(k) die aan de differentiaalvergelijking voeldoet f''(x)+f(x)=0 met beginvoorwaarden f(0)=0 en f'(0)=1.
a₀ is dus 0 en a₁ is dus 1.
Ik heb de machtreeks van f''(x) geschreven als sommatie (van k=0 naar k=0neindig)(n+2)(n+3)a_{k+1}x^(k).
Nu is de volgende vraag om een recurrente betrekking af te leiden tussen de coefficienten ak. Gebruik hierbij de stelling dat een machtreeks ideentiek (voor alle waarden van x in het convergentieinterval) nul is dan en slechts dan als alle coefficenten nul zijn.
Zou u mij een hint kunnen geven hoe ik deze vraag zou moeten beantwoorden?
Alvast bedankt.

Kim
8-1-2014

Antwoord

Eerst even de tweede afgeleide rechtzetten:
$$
f''(x)=\sum_{k=0}^\infty k(k-1)a_kx^{k-2} = \sum_{k=0}^\infty (k+2)(k+1)a_{k+2}x^k
$$
nu netjes invullen in $f''(x)+f(x)=0$:
$$
\sum_{k=0}^\infty\bigl((k+2)(k+1)a_{k+2} + a_k\bigr)x^k=0
$$
Kijk nu eens of je verder kunt

kphart
9-1-2014