WisFaq!

Lijnberekening

Gegeven: Driehoek ABC met AB = BC = CA = 1 en D op het verlengde van CB, zodat BD = 1 en E op het verlengde van BA en F op het verlengde van DA zodanig, dat EF = 1. C, F en E liggen op 1 lijn.
Bereken: CF .
Oplossing: ³√2 .
Echter gaarne de berekening !
Bij voorbaat mijn dank

Jaap van der Pol
4-1-2014

Antwoord

Laat vanuit E een loodlijn EG neer op het verlengde van CA.
Als CF = x dan volgt uit de gelijkvormigheid van de driehoeken CFA en CEG dat AG = 1/x en omdat $\angle$AEG = 30° volgt dat AE = 2/x.
De cosinusregel in driehoek ACE levert nu op
(1+x)² = (2/x)² + 1² - 2 . 2/x . 1 .-¹/₂ wat na uitwerken en vermenigvuldigen met x² oplevert x⁴ + 2x³ - 2x - 4 = 0
ofwel (x³ - 2)(x + 2) = 0
De oplossingen zijn x = -2 resp. x = ³√(2) en de negatieve oplossing is hier uiteraard onbruikbaar.

MBL
4-1-2014