WisFaq!

Taylorreeks

Obtain the first two nonzero terms in the taylor series at the orgin:
a)arctan x
b)e^-x·cos x

Ik heb hier woensdag toets over en hij geeft meestal de sommen bijna letterlijk maar kom hier echt niet uit snap niet veel van dat taylor hoop dat u me nog voor woensdag middag kunt mailen zou super zijn alvast bedankt met uitwerking en beetje uitleg hoe taylor werkt als mogelijk is?
gerda

gerda
3-2-2003

Antwoord

Een taylor reeks van functie f(x) in punt a wordt als volgt gevormd:
t_n(x) = f(a)+ f'(a)(x-a)+ f"(a)(x-a)²/2! + ... + f⁽ⁿ⁾(a)(x-a)ⁿ/n!

Dit zal je, als je een toets hierover krijgt, vast niet helemaal vreemd voorkomen.
Aangezien je opgave zich afspeelt in de oorsprong, gebruik je a = 0.
Je bent dan op zoek naar de waarden f(0), f'(0) en f"(0)/2!
Als deze toevallig 0 worden, moet je verder differentiëren om de waarde van de volgende term van de reeks te kunnen bepalen, enz. enz.

Om de termen f(a), f'(a), f"(a) te bepalen is het een kwestie van netjes differentiëren van de opgegeven functies. Voor arctan x:
f(0): arctan (0) = 0 (jammer, die telt dus niet mee)
De 1e afgeleide van de arctan x = 1/(1+x²)
f'(0) = 1 : die hebben we!
Bij de volgende afgeleide eraan denken dat f/g(a)'= (f'(a)g(a) -f(a)g'(a) )/g(a)²
f"(x) = -2x/(1+x²)², helaas, f"(0) = 0
Weer verder doordifferentiëren levert:
f"'(x) = (-2(1+x²)²+2x(4x+4x³))/(1+2x²+x⁴)²
en die geeft voor f"'(0)= -2
Je eerste term is dus 1, de tweede is -2/3! = -¹/₃.

De Taylorreeks voor de arctan ziet er als volgt uit:

t(x)= x - x³/3 + x⁵/5 - ....

Veel meer kan ik hier niet aan uitleggen, denk ik.
Je tweede opgave zal met de volgende hints best lukken: denk er aan dat je hier in feite 2 functies hebt:
f(x) = e^-x en g(x)= cos x.
Bij het differentiëren wel even denken aan de productregel: (f.g)'= f'g + fg'.
Succes woensdag!

Emma
3-2-2003