Hallo,
Ik ken de definities van zowel uniforme als puntsgewijze convergentie (hoewel ik ze denk ik niet volledig versta en beheers) en weet dat wanneer een functiereeks uniform convergeert, deze ook puntsgewijs convergeert.
En dat dit omgekeerd niet geldig is, nu vroeg ik me af of iemand hier een tegenvoorbeeld voor kan geven.
Een voorbeeld waarbij een functiereeks wel puntsgewijze conv is maar niet uniform.
Dank bij voorbaatep
27-12-2013
Hoi,
Er zijn veel voorbeelden, maar ik denk dat dit het meest voor de hand liggende voorbeeld is:
Beschouw de rij functies $f_n : \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}: x \mapsto \frac{1}{n}x$ (voor elke $n \in \mathbb{N}_0$).
Deze rij convergeert puntsgewijs naar de nulfunctie, want in elk punt $x \in \mathbb{R}$ geldt natuurlijk dat $\frac{1}{n}x \rightarrow 0$, maar de rij convergeert niet uniform, omdat elke functie $f_n$ toch uiteindelijk steeds naar oneindig gaat, en dus gaat de supremum norm nooit 0 worden.
Uniforme convergentie is een veel sterkere eigenschap dan puntsgewijze convergentie, want voor uniforme convergentie is het nodig dat de rij functies "globaal" gezien gelijkmatig naar een functie convergeert. Bij het voorbeeld hierboven is dat dus niet het geval, omdat als je x naar oneindig laat gaat, zal de afstand van $f_n(x)$ tot 0 ook naar oneindig gaan, hoe groot je n ook is.
Laat het maar weten als dat nog niet helemaal duidelijk is.
Mvg
Christophe
cs
27-12-2013
#71758 - Rijen en reeksen - Student universiteit België