WisFaq!

Primitiveren sinus-productfunctie

Hallo!
Ik hoop dat jullie mij kunnen helpen met deze opgave:
De functie f(x)= sinx - sinx · cos²x primitiveren.
In het antwoordenboek staat F(x)= -cosx + ¹/₃cos³x
Ik snap dat de eerste term geprimitiveerd wordt in -cosx.
Alleen snap ik niet hoe de tweede term, sinx · cos²x,in ¹/₃cos³x geprimitiveerd wordt.

Groetjes Cindy

Cindy
22-12-2013

Antwoord

Beste Cindy,
Handig is om hiervoor een substitutie te gebruiken.
Als volgt:

$
\begin{array}{l}
\int {\sin (x) - \sin (x).\cos ^2 (x).dx} = \\
\int {\sin (x)dx + \int { - \sin (x).\cos ^2 (x).dx} } = \\
- \cos (x) + d + \int { - \sin (x).\cos ^2 (x).dx} = \\
U = \cos (x) \\
\frac{{dU}}{{dx}} = - \sin (x) \Rightarrow dU = - \sin (x).dx \\
\int { - \sin (x).\cos ^2 (x).dx} = \int {\cos ^2 (x). - \sin (x).dx = \int {U^2 .dU} } \\
\int {U^2 .dU} = [\frac{1}{3}U^3 + c] = \frac{1}{3}\cos ^3 (x) + c \\
d + c = m \\ zijn constante
\Rightarrow \int {\sin (x) - \sin (x).\cos ^2 (x).dx} = - \cos (x) + \frac{1}{3}\cos ^3 (x) + m \\
\end{array}
$

Lukt dat zo?

mvg DvL

DvL
22-12-2013