WisFaq!

Re: Rotatiematrix

Hoe kom je juist aan zo'n rotatiematrix? Voor school moet ik dat achterhalen maar ik vind nergens iets dat me helpt hierbij? Kan u me soms helpen?

Met vriendelijk groet
Anthony

Anthony De Boever
22-12-2013

Antwoord

Hallo Anthony,

In de linker figuur hieronder zie je een vector in het xy-vlak. Deze heb ik ontbonden in een component a₁ langs de x-as en een component b₁ langs de y-as. Dit stelsel roteer ik om de z-as, de rotatiehoek is a. Het resultaat zie je in de rechter figuur. De geroteerde componenten noem ik a₂ en b₂.



Nu ga ik de x- en y-coördinaten bepalen van de geroteerde vector. Dit doe ik door de x- en y-coördinaten van de geroteerde componenten te bepalen en deze op te tellen:

x_a2 = cos(a)×a₁
x_b2 = -sin(a)×b₂

Een eventuele z-coördinaat heeft geen invloed op de x-coördinaat, dus:
x_nieuw = cos(a)×a₁ - sin(a)×b₂ + 0×z_oud

Op dezelfde manier voor y:

y_a2 = sin(a)×a₁
y_b2 = cos(a)×b₂

Dus:
y_nieuw = sin(a)×a₁ + cos(a)×b₂ + 0×z_oud

Er verantert niets aan een eventuele z-coördinaat, dus voor z geldt:

z_nieuw = 1×z_oud

De vectoren a₁ en b₁ zijn de 'oude' x- en y-coördinaten van de vector. In vectornotatie kunnen we dus ook schrijven:



Op gelijksoortige wijze kan je de rotatiematrices voor rotatie rond de y-as en z-as afleiden.

Let op bij rotatie rond meerdere assen: hierbij maakt het uit in welke volgorde je roteert. Dit kan je gemakkelijk zelf uitproberen:

Ga staan met de rechterarm langs het lichaam naar beneden, de duim wijst naar naar links.

1. Draai de arm 90° rond de verticale as, zodat de duim nu naar voren wijst;
   
2. Draai de arm nu 90° om een horizontale as door de schouders, de arm wijst nu naar voren met de duim omhoog.

Nu dezelfde rotaties in omgekeerde volgorde:

1. Rechterarm weer langs het lichaam, duim naar links. Draai nu 90° rond de horizontale as door de schouders, de arm wijst nu naar voren met de rug van de hand omhoog.
   
2. Draai de arm nu 90° rond de verticale as. De arm wijst nu naar rechts!

Net als met de arm is de eindpositie van een vector afhankelijk van de volgorde van rotaties rond verschillende assen.

GHvD
26-12-2013