WisFaq!

Driedeling hoek en verdubbeling kubus

Beste .. / ..
Ik heb zelfs 4 vragen:
1 bij de oplossing van de driedeling van een hoek ontdekte Nicomedes de conchoide: wat zou zijn redenering geweest kunnen zijn.

2 bij de oplossing van de kubusverdubbeling ontdekte Diokles de cissoide : wat zou zijn redenering geweest kunnen zijn.

3 Een oplossing van de kubusverdubbeling is het volgende :
de parabolen y²= X en Y = 2x²hebben een gemeenschappelijke
abscis :³√2 De Grieken deden niet aan analytische meetkunde :
a hoe wisten ze de juiste parabolen te vinden;
b hoe berekenden zij ³√2

Jaap van der Pol
20-12-2013

Antwoord

Dit zijn eigenlijk een soort kip-en-ei vragen: waren de krommen er vóór de oplossingen of waren ze het resultaat van de zoektocht naar de oplossingen.

Mijn gok is: het laatste. Hoe de redeneringen gegaan (hebben kunnen) zijn: ik denk een combinatie van proberen en de uiteindelijke gedachte dat voor beide oplossingen een lengte overgebracht moest worden en de ontdekking dat dat alleen kon door die lengte op een lijn af te passen en dan die lijn op de juiste plek te zetten. Dan is het een kleine stap alle mogelijke posities van die lijn te bekijken.

Wat de parabolen betreft: die waren al bij Apollonius bekend (zelfs bij Euclides, zie de link). Je kunt de vergelijking relateren aan de brandpuntsafstand: als $a$ de afstand van brandpunt tot top is dan geldt $4ay=x^2$. Door deze grootheden als oppervlakten te interpreteren kun je punten aan verhoudingen relateren en zo op de parabool komen die helpt bij het verdubbelen van de kubus.

Zie Apollonius [http://en.wikipedia.org/wiki/Apollonius_of_Perga]

kphart
25-12-2013