WisFaq!

Stelling

Hoi,
Ik ben tot de volgende stelling gekomen.

STELLING : De verhouding van de oppervlakte O van een(goniometrische) cirkel C met straal r met de oppervlakte O' van het ingescheven vierkant S met zijde z is steeds constant, namelijk /2.

Dit bewijzen we met behulp van.

1. De eigenschappen van een vierkant : bij een vierkant snijden de diagonalen elkaar middendoor in het middelpunt onder een loodrechte hoek.

2.We Passen de stelling van Pythagoras toe op OBC die gevormd wordt door de helft van 2 diagonalen die elkaar loodrecht snijden.
In die driehoek geldt dat de twee rechthoekszijden gelijk zijn aan de schijne zijde, de twee rechthoekszijden zijn straal r, dus 1, nu is 1² +1²=|BC|², deze stelt de schuine zijde voor.
Dus |BC|=2
Dit is één zijde van het vierkant.

Nu kunnen we eindelijk de opppervlakte gaan bereken van vierkant s = O'.
|BC|²=O'. Dus 2²=O', dus O'=2.

En nu nog de oppervlakte van de cirkel, die is r²* =
1* = =O
Dus O/O' = /2.

Zintuigelijk klopt dit, en wiskundig gezien oo, maar wat zijn we met deze stelling louter functioneel gezien.
We weten het nu wel bij een vierkant maar hoe zit het nu bij een niet-regelmatige vierhoek, dus een rechthoek, dit is natuurlijk geen constante, want de oppervlakte verschilt natuurlijk wel, dit noemt men dan extremumproblemen, niet?

De verhouding kan dus niet constant zijn, hoe gieten we dit dan in formulevorm?

En is deze stelling al eerder bewezen?
Wat is hier nu het nut van?

Dank je,
Ruben

Ruben
2-2-2003

Antwoord

Wat je schrijft is helemaal waar. Je doet alleen wat ingewikkeld over de oppervlakte van het ingeschreven vierkant. Eén driehoek van dat vierkant heeft tweemaal de zijde r en dús is de oppervlakte ¹/₂.r.r = ¹/₂r². Dit vermenigvuldigd met 4 geeft de oppervlakte van het vierkant.
Bij mijn weten is deze eigenschap niet als stelling bekend, maar wat let ons om hem vanaf dit moment naar jou te vernoemen. Het feit dat er geen 'bekende' stelling van gemaakt is, betekent vermoedelijk dat het niet direct een bruikbaar instrument levert op andere terreinen. Maar dat neemt niet weg dat het toch wel erg leuk is dat je dit eigenhandig hebt ontdekt.
Voor willekeurige vierhoeken zal de zaak wel minder transparent zijn. Dan ligt de oppervlakte inderdaad niet meer vast en dan zal er wel geen sprake kunnen zijn van een vaste verhouding tussen oppervlakte cirkel en oppervlakte ingeschreven figuur.
Alleen met de regelmatige veelhoeken kun je iets beginnen, maar gezien je beschrijving van het geval van het vierkant zal dat geen probleem voor je zijn. Probeer bijv. eens iets met de regelmatige zeshoek. Naarmate je een groter aantal zijden aan je veelhoek geeft zal de veelhoek steeds meer op de cirkel gaan lijken. De oppervlakteverhouding zal dan tot 1 gaan naderen.

MBL
2-2-2003