WisFaq!

Identiteit oplossen

Hoe los je volgende identiteit op?

sec(x) - tan(x) = 1 / (sec(x) + tan(x))

Ik heb het als volgt kunnen aantonen: noemer van RL naar de andere kant zetten, dan krijg je een vorm van (A - B ) * (A + B ) = A² - B² dus sec² - tan² = (1 - sin²x) / cos²x = 1

Probleem: je mag niets aan je identiteit veranderen dus je moet effectief bewijzen dat uw linkerlid (sec(x) - tan(x)) gelijk is aan uw rechterlid (1 / (sec(x) + tan(x))). Wie kan mij helpen? Alvast bedankt!

Tom
9-12-2013

Antwoord

Beste Tom,

Vermenigvuldig beide leden met de factor sec(x) + tan(x), dan staat er
(sec(x) - tan(x))(sec(x) + tan(x)) = ^{sec(x) + tan(x)}/_{sec(x) + tan(x)}
Oftwel aantonen dat (¹/_cos(x) - ^sin(x)/_cos(x))(¹/_cos(x) + ^sin(x)/_cos(x)) gelijk is aan het rechterlid, zijnde 1.
Maak hiervoor gebruik van het door jou voorgestelde merkwaardig product (a - b)(a + b) = a² - b².
Dit wordt dan ¹/_cos²(x) - ^sin2(x)/_cos²(x) = ^{1 - sin2(x)}/_cos²(x) = ^cos2(x)/_cos²(x) en dit is gelijk aan 1 (mits cos(x) verschillend van 0).
Er is in het bovenstaande eveneens gebruikgemaakt van de identiteit sin²(x) + cos²(x) = 1 en dus cos²(x) = 1 - sin²(x).

Mocht er nog iets onduidelijk zijn, reageer gerust.

Davy
9-12-2013