WisFaq!

Snelheidsfunctie biljartbal bij loodrechte botsing met rubberen band

Ik doe een onderzoek naar de bewegingen van een biljartbal op een biljart. In het bijzonder wil ik weten hoe de snelheidsfunctie van de bal weergegeven kan worden zolang de bal contact heeft met de rubberen band.
Stel D(t) geeft de invering aan en √(t) de snelheid van de bal loodrecht op de band gedurende het contact met de band. Via nauwkeurige metingen is vastgesteld dat de tegendruk van de band evenredig is met het kwadraat van de invering.
Dat levert de volgende vergelijkingen op.
√(t) = - D’(t)
V’(t) = - D”(t) = c.D²(t) en dat leidt tot de differentialvergelijking D” + c.D² = 0
Dat ziet er eenvoudig uit maar dat is het volgens mij niet.
Deze vgl is niet homogeen en niet lineair.
Ik heb op internet geen oplossing of aanknopingspunt kunnen vinden.
Kan iemand mij helpen aan/met de oplossing?

^.........

Frans van Hoeve
7-12-2013

Antwoord

Een expliciete oplossing kun je vinden in termen van de Weierstrass $\wp$-functie (zie de link), deze voldoet aan
$$
(\wp')^2=4\wp^3-g_2\wp -g3
$$
waar $g_2$ en $g_3$ speciale parameters zijn. In het geval $g_2=0$ kun je dit omwerken tot
$$
\wp'' = 2\wp^2
$$
Jouw $D$ is dan een geschaalde versie van $-\wp$.

Zie Weierstrass p-functie [https://en.wikipedia.org/wiki/Weierstrass's_elliptic_function]

kphart
8-12-2013