WisFaq!

Differential vergelijking met cosinus

dy/dx+y/x=3cos(2x) ik heb geprobeerd een particuliere oplossing met de vorm Yp= A·sin (2x)+B·cos(2x) maar het lukt niet. hoe kan ik verder?

Maloco
26-11-2013

Antwoord

Deze is weer lineair, namelijk van de vorm dy/dx + y g(x) = h(x).
Dus het verschil van twee particuliere oplossingen y1(x) en y2(x) is een oplossing van 'het homogene deel' dy/dx + y/x = 0.

De homogene dv kan men oplossen door scheiden van de variabelen:
dy/y = - dx/x
ln|y| = - ln|x| + c1 = ln|1/x| + ln(c2) = ln|c2/x|
y = c/x

Probeer y(x) = u(x)/x (variatie van de constanten).
Substitutie in de oorspronkelijke dv levert
du/dx = 3x cos(2x).
Hier proberen we u(x) = (A+Bx)sin(2x) + (C+Dx)cos(2x).
Substitueer dit in du/dx = 3x cos(2x) en vind geschikte waarden voor A,B,C,D.
Deze waarden kunt u met enige inspanning hopelijk zelf vinden.
Dan is y_p(x) = u(x)/x met deze waarden van A,B,C,D een particuliere oplossing.

De algemene oplossing van de oorspronkelijke dv vindt men door de particuliere oplossing bij de oplossingen van het gehele deel op te tellen:
y(x) = y_p(x) + c/x.

hr
26-11-2013