WisFaq!

Eerste orde differentiaalvergelijking

Los deze differentiaalvergelijking op dy/dx+y/(1+x)=e^2x

Homogeen oplossen geeft
dy/dx+y/(1+x)=0

Yo= c·e^1+x ik kan niet verder gaan ik weet niet wat ik moet doen

Maloco
25-11-2013

Antwoord

Hallo, Maloco.

Deze differentiaalvergelijking is lineair.
Als y1 en y2 oplossingen zijn van deze dv, dan is y1-y2 oplossing van de bijbehorende homogene dv, namelijk dy/dx + y/(1+x) = 0.

De homogene dv kan men oplossen door scheiden van de variabelen:
dy/y = -dx/(1+x), dus y=0 of ln|y| = -ln|1+x| + c1 = ln|1/(1+x)| + ln(c2) =
ln|c2/(1+x)|,
dus y = c/(1+x).
(c1 is een willekeurige constante, c2 is exp(c1), c is een willekeurige constante.)

We gaan nu in de oorspronkelijke dv proberen y(x) = u(x)/(1+x).
(Deze methode heet 'variatie van de constante', dwz je varieert c
in y=c/(1+x).)
Na substitutie in de oorspronkelijke dv en vereenvoudiging volgt du/dx = (1+x)e^2x.
Integreren geeft u(x) = C + ((1/4)+(1/2)x))e^2x.
(Als je probeert u(x) = A + Bx, vind je namelijk A=1/4 en B=1/2.)

De algemene oplossing is dus y(x) = (C + ((1/4)+(1/2)x))e^2x)/(1+x).

hr
26-11-2013