WisFaq!

Differentiaalvergelijking van een kamer met lucht

Een afgesloten kamer bevat 40000 liter lucht waarvan 6% zuurstof is. Per minuut wordt er 5 liter verrijkte lucht die 30% zuurstof bevat de kamer ingepompt terwijl er evenveel van de gemengde lucht de kamer uitgepompt wordt. Om gezond te zijn voor een mens moet lucht 20% zuurstof bevatten. Hoelang duur het voordat de lucht in de kamer gezond is voor een mens?

Maloco
24-11-2013

Antwoord

Hoi Maloco,
Wat heb je zelf geprobeerd vroeg ik me af?

Welnu: op tijdstip 0 zit er 2400 liter zuurstof in.
Voor een gezonde toestand moet er 8000 liter zuurstof inzitten.
per minuut komt er 1,5 liter zuurstof in.
er gaat 5Y(t)/400000 liter zuurstof per minuut uit. Y(t) is de hoeveelheid zuurstof in de kamer op moment t.

Ik zal de uitgebreide versie geven. We krijgen dan het volgende.

$
\begin{array}{l}
y(t + \Delta t) = y(t) + 1,5\Delta t - \frac{{y(t)}}{{40000}}.5\Delta t \\
\frac{{y(t + \Delta t) - y(t)}}{{\Delta t}} = 1,5 - \frac{{y(t)}}{{8000}} \\
\frac{{dy}}{{dt}} = 1,5 - \frac{{y(t)}}{{8000}} = \frac{{dy}}{{dt}} = \frac{{12000}}{{8000}} - \frac{{y(t)}}{{8000}} = \frac{{12000 - y(t)}}{{8000}} \\
\frac{1}{{12000 - y(t)}}dy = \frac{1}{{8000}}dt \\
\int {\frac{1}{{12000 - y(t)}}dy = \int {\frac{1}{{8000}}dt} } \\
- LN(12000 - y(t)) = \frac{1}{{8000}}t + C \\
e^{\frac{{ - 1t}}{{8000}} + C} = 12000 - y(t) \to - Ae^{\frac{{ - t}}{{8000}}} + 12000 = y(t) \\
y(0) = 2400 \Rightarrow 2400 = - Ae^0 + 12000 \Rightarrow A = 9600 \\
y(t) = - 9600e^{ - t/80} + 12000 \\
\end{array}
$

Welnu we hebben nu de hoeveelheid liter Y(t) uitgedrukt in t. Rest ons niets dan de vergelijking op te lossen voor Y(t)=2400 ( de gezonde hoeveelheid).
Dit zal je wel lukken vermoed ik?

mvg DvL

DvL
24-11-2013