WisFaq!

Re: Re: Re: Verloop goniometrische functie

Hoe ik aan mijn nulpunten kom:
cosx-2sin2x+1=0
-- cosx-2sinxcos+1=0
-- cosx(1-2sinx)=-1
-- cosx= -1 en sinx=-1

Oke dus nu heb ik alles van de afgeleide maar hoe bepaal ik nu die nulpunten om later in mijn tekentabel te zetten? Want dat ik echt mijn probleem...
Ik zal een voorbeeld geven om het probleem te verduidelijken:
In de cursus hebben ze de functie f=sin2x+2cosx, ze hebben het domein bepaald en de afgeleide die 2cos2x-2sinx is. Ze gaan het dan gelijkstellen aan nul Enzo en komen dan sinx=-1 en sinx= 1/2, waaruit volgt dat x=(3p/2)+2kp of x=(p/6)+2kp of x=(5p/6)+2kp.
Hierna zeggen ze: in het interval dat we bespreken geeft dat als nulpunten: (3p/2), /5p/6) en 13p/6
en dit is wat ik echt niet snap

Claire
10-11-2013

Antwoord

Eerst even de nulpunten van de functie.
De tweede regel zou moeten zijn cos(x) - 4sin(x)cos(x) + 1 = 0 en dan krijg je met jouw aanpak cos(x).(1 - 4sin(x)) = -1.
De conclusie die je daarna trekt is ernstig.
Volgens jou moet nu cos(x) = -1 of 1 - 4sin(x) = -1 enz.
Maar, als er uit een vermenigvuldiging - 1 komt, dan is het toch niet nodig dat één van de getallen zélf -1 is?
Is het misschien de bedoeling dat je de nulpunten laat bepalen door de GR??
Met de hand oplossen zit er niet echt in en daarom denk ik dat het functievoorschrift misschien anders moet zijn. Kijk nog eens goed.

Dan wat de punten binnen een interval betreft.
Het nulstellen van de afgeleide in het voorbeeld leverde o.a. op x = p/6 + 2kp.
Zolang je hierin voor k een gehele waarde kiest, krijg je een oplossing. Het maakt niets uit of die k heel groot is of enorm negatief, zolang het een heel getal is, krijg je een oplossing.
Dat houdt wel in dat je er oneindig veel gaat krijgen en dat is meestal iets teveel van het goede. Neem even aan dat je binnen het interval [0,6p] moet blijven. Neem nu eerst maar k = 0 en je krijgt x = p/6.
Neem je k = -1, dan krijg je x = -11/6p. Dit is een correcte oplossing maar buiten het interval en dús laat je hem buiten beschouwing.
Dan maar k = 1 wat tot 13/6p leidt. Deze ligt in het interval en wordt dus meegerekend. Voor k = 2 kom je op x = 25/6p die ook nog in je interval ligt, maar met k = 3 vind je x = 37/6p. Deze ligt nét buiten je domein en wordt dus verder genegeerd.
Op deze manier beperk je dus het aantal oplossingen. Meestal kiest men een interval waarin de grafiek zijn volledige gedrag laat zien. Omdat de meeeste goniografieken een regelmatig terugkerend patroon in hun grafiek vertonen, is het zinvol om je te beperken tot een domein waarin dat patroon te zien is. Buiten dat domein is het gewoon een herhaling van zetten en dat is niet erg leerzaam.
En zo doe je dat ook met je andere oplossingsseries.

MBL
10-11-2013