WisFaq!

Limiet van een reeks

Opdracht: Men verdeelt een cirkel met straal R in 12 gelijke delen en men verbindt de deelpunten met het middelpunt (kan je voorstellen als een taart die in 12 gelijke delen is verdeelt). Uit één van de deelpunten laat men de loodlijn neer op de volgende straal; vanuit het voetpunt van die loodlijn laat men opnieuw de loodlijn neer op de daaropvolgende straal en men blijft dit proces oneindig verder zetten.

Vraag: Bereken de limiet van de som van de lengtes van deze loodlijnen in functie van R.

$\to$ ik heb geprobeerd om de reeks op te schrijven van de eerste 3-4 termen op te schrijven om dan het voorschrift op te stellen maar lukt mij niet om de afstanden uit te rekenen omdat ik er teveel R-en in staan en ik kan er niet meer aan uit...

Vandevelde Hendrik
29-10-2013

Antwoord

Hoi Hendrik,

Misschien dat het volgende wat uitkomst biedt.



$
\begin{array}{l}
@ = 30^ \circ \\
\sin @ = 0.5 \\
\cos @ = 0,5\sqrt 3 \\
R = R \\
r_n = r_{n - 1} \cos (@) \\
x_n = r_n \sin (@) \\
\sin .r + \sin .\cos .r + \cos ^2 r.\sin + \cos ^3 .r.\sin + ...\cos ^n r.\sin = \\
0.5.r(\cos ^0 + \cos ^1 + \cos ^2 + ....\cos ^n ) = \\
0,5.r(1 + 0,5\sqrt 3 ^1 + 0,5\sqrt 3 ^2 + 0,5\sqrt 3 ^3 + ........0,5\sqrt 3 ^n ) = \\
0,5.r(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{1 - 0,5\sqrt 3 ^n }}{{1 - 0,5\sqrt 3 }}) = 0,5r(\frac{1}{{1 - 0,5\sqrt 3 }}) \\
\end{array}
$

zoiets?

mvg DvL

DvL
29-10-2013