WisFaq!

Coefficienten van een veelterm bepalen

Gegeven de veelterm in C: √(z) = z⁴ + az³ + bz² + cz + d = 0
(a, b, c en d reele coefficienten).
Gegeven:
- er bestaat juist één reeel geral x₀ waarvoor √(x₀)=0
- er bestaat een complex getal z₁ gelegen op de eenheidscirkel, waarvoor √(z₁) = 0
- de som van de wortels van de veeltermvergelijking √(z)=0, genomen met hun multipliciteit, is 2
- het product van de wortels van de veeltermvergelijking √(z) = 0, genomen met hun multipliciteit, is 9/4

Bepaal de coefficienten.

Ik weet door het voorlaatste en laatste gegeven dat a=-2 en d=9/4, en dat z₁ en zijn complex toegevoegde een oplossing zijn en dat x₀ ook een oplossing is, maar voor de rest loop ik vast... Kan iemand mij helpen?

Tom
10-10-2013

Antwoord

Beste Tom (of Dries?),

Het complexe nulpunt dat op de eenheidscirkel gelegen is kan je voorstellen als $z=e^{it}$ en dan is het complex toegevoegde $z=e^{-it}$ ook een oplossing. Aangezien complexe oplossingen in complex toegevoegde paren voorkomen en er precies ¨¦¨¦n reëel nulpunt is, moet de multipliciteit van dat reële nulpunt (noem het p) 2 zijn. In ontbonden vorm is de gezochte veelterm dus te schrjven als
$$(z-p)^2(z-e^{it})(z-e^{-it}) = (z-p)^2(z^2-2z\cos t+1)$$Als je dit uitwerkt kan je de coëfficiënten die je reeds kent (-2 en 9/4) gelijkstellen aan de coëfficiënten die bij de betreffende machten van z komen te staan: dit geeft je een (eenvoudig) stelsel van twee vergelijkingen in p en t.

mvg,
Tom

td
10-10-2013