WisFaq!

SD en som van kwadraten

Ik kom niet uit bij de volgende opgave:

24 leerlingen van een klas van 25 leerlingen hebben een proefwerk gemaakt;het gemiddelde cijfer is 7,0 en de standaardafwijking is 1,0.

De eerste vraag die hierbij hoort is: Wat is de som van de kwadraten van de cijfers?

Ikzelf dacht dat de standaardafwijking eerst gekwadrateerd moest worden en vervolgens met 24 vermenigvuldigd moest worden. Hierdoor kwam ik als antwoord op de eerste vraag uit op 24. In de uitwerkingen staat echter dat het antwoord 1200 is?

De tweede vraag die bij deze opgave hoort is: De 25ste leerling haalt het proefwerk later in. Hij scoort een 2,0. Bereken het nieuwe gemiddelde en de nieuwe standaardafwijking.

Het nieuwe gemiddelde kon ik berekenen, dat was 6,8. De nieuwe standaardafwijking kon ik echter niet berekenen.

David
9-10-2013

Antwoord

Beste David. Even een paar dingen op een rijtje hoor.
Het gemiddelde van 7 is gebaseerd op 24 mensen, hier ga ik vanuit. Ik weet immers niet of nummer 25 is meegerekend en ook niet,stel dat hij is meegerekend of dat met een 0 of een 1 is. Dus 24 mensen, gemiddeld een 7 sd=1

aangezien sd= vvar dus var ook 1.

Welnu we gaan uit van de formule voor variantie, hierbij deel ik door n ipv n-1, let op dus op wat ze bij jou doen. Vaak wordt ook gekozen voor n-1.

$
{\mathop{\rm var}} = \frac{{\sum\limits_{k = 1}^{24} {(xk - x_g } )^2 }}{{24}} = 1
$

x_k = cijfer van een bepaalde leerling met nummer k
x_g= het gemiddelde van de 24 cijfers
1 is var

$
\begin{array}{l}
\sum\limits1^{24} {(x_k - 7)^2 = 24} \Rightarrow \sum\limits1^{24} {(x_k^2 - 14x_k + 49) = 24} \\
\sum\limits1^{24} {(x_k^2 ) = 24} - 24.49 + 14(x_1 + x_2 + x_3 + ...x_{24} ) \\
\end{array}
$

$
(x_1 + x_2 + x_3 + ...x_{24} )
$
Is bekend, immers als het gemiddelde van 24 getallen 7 is. Dan is de som 168

Dus de som van kwadraten van de cijfers is als volgt:

$
\sum\limits1^{24} {(x_k^2 ) = 24} - 24.49 + 14.(168) = 1200
$

En mijn assumpties ( het delen door n ipv n-1 en het niet meerekenen van leerling 25) zijn blijkbaar juist, want ook in jou uitwerking stond 1200.

Probeer het vervolg eerst zelf even, maar probeer eerst dit goed te begrijpen.

Mvg DvL

DvL
9-10-2013