WisFaq!

Oplossen differentiaalvergelijking

Goedemiddag,

Wij hebben zojuist een inleiding over differentiaalvergelijkingen gehad, met als oefening om op te lossen:

y' = 2y+4x

Waar ik tot dusver ben:
y'(x) = 2y(x)+4x
dy/dx = 2·dy/dx+4x

vermenigvuldigen met dx geeft:
dy = 2·y·dx + 4·x·dx

De oplossing moet volgens het boek iets in de vorm van y(x) = ax+b zijn, waarbij a en b gevonden moeten worden.
Met logisch redeneren kom ik er niet, het lijkt me dat de vorm e^x er in voor moet komen.
Wie kan me iets meer op weg helpen?
Bedankt

Arnout de Bruijn
8-10-2013

Antwoord

Hoi Arnout,
De vorm die jij beschrijft is y'-2y=4x
Een optie is als je de functie i(x) gebruikt.

$
\begin{array}{l}
\frac{{dy}}{{dx}} - 2y = 4x \\
i = e^{\int { - 2} } = e^{ - 2x} \\
i' = - 2e^{ - 2x} \\
i\frac{{dy}}{{dx}} - 2iy = 4xi = iy' + i'y = 4xe^{ - 2x} \\
(iy)' = 4xe^{ - 2x} \\
iy = \int {4xe^{ - 2x} } dx \\
\int {4xe^{ - 2x} } dx = - \frac{1}{2}e^{ - 2x} .4x - \int { - 2e^{ - 2x} = - 2e^{ - 2x} x + e^{ - 2x} + c} \\
e^{ - 2x} ( - 2x - 1) + c \\
iy = \int {4xe^{ - 2x} } dx \Rightarrow y = - 2x - 1 + e^{2x} c \\
\\
\end{array}
$

Je kunt vervolgens bewijzen dat het klopt door te substitueren.
y'-2y=4x

$
\begin{array}{l}
- 2y = 4x + 2 - 2e^{2x} c \\
y' = - 2 + 2e^{2x} c \\
y' - 2y = - 2 + 2e^{2x} c + 4x + 2 - 2e^{2x} c = 4x \\
\end{array}
$

Er is ook nog een andere manier, voor voor een eerste orde differentiaal doe ik het zelf nooit. Dan moet je op zoek naar een homogene oplossing en een particuliere oplossing. De som hiervan is dan de generale oplossing.

Ik weet niet hoe ze het in jouw boek of op school doen, maar dit is een manier.
mvg DvL

DvL
8-10-2013