WisFaq!

Re: Re: Re: Berekening tweede lid van een som

Hallo Dvl,
IK zie een tikfoutje staan in de derde alinea van je antwoord waar je zegt dat de tweede sommatie loopt van 2 tot n-1, dit zal n+1 moeten zijn... Ik denk dat het een tikfoutje is
Kun je voor mij nog zo een som(sommatie uitdrukking oplossen naar... een waar tweede lid) uitwerken waarvan je de opgave zelf mag kiezen. Ze moet niet te gemakkelijk zijn

Ik houd mij wat bezig met deze soort "identiteiten" die wat verschillen van een rechtstreekse berekening naar het tweede lid toe zoals bijvoorbeeld deze :
4+7+10 +....=(3n+1)= (n(3n+5))2 en werk dan in stappen als volgt:
STAP 1 n=1
en verifieer: ......+3.1+1 =4 en 2 de lid 1(3*1+5)/2 =4 dus is in orde voor n=1
STAP 2 n naar m omvormen
4+7+10+.....(3m+5)= (m(3m+5)/2
STAP 3 naarm naar m+1 omvormen
4+7+10=....=(3m+1) +3(m+1)+1=((m+1)(3(m+1))+5)/2=
((m+1)(3m+8))/2 *(1)
Ga terug STAP 2 en voeg toe in beide leden de term 3(m+1)+1
en bewijs dat het tweede lid dan gelijk is aan *(1)
Uitwerken geeft:
4+7+10+....+(3m+1)+3(m+1)+1)= m(3m+5)/2+3(m+1)+1)
Uitwerken 2 de lid:
m(3m+5)/2+3(m+1)+1
= m(3m+5)+3m+3+1
=(m(3m+5)+2(3m+4)/2
=(3m²+5m+6m+8)/2
=(3m²+11m+8)/2
=3(x+1)(x+8/3
3(x+1)(3x+8))/3
x+1)(3x+8)/2 **(2) wat perfect gelijk is aan *(1)

Zie je het verschil met wat jij nu voor mij hebt berekend.?
Voor mij is het stappenplan een handige methode om van m naar m+1 over te gaan en 2 resultaten met elkaar te vergelijken.Dit stappenplan schema is niet zo moeilijk als het dit soort identiteiten een tweede lid te zoeken.
Ik zal je heus nooit met de haren trekken, hoor. ....Maar zou wel graag je voornaam kennen .Je staat niet in WIE is WIE, geloof ik en een curriculum vitae is toch wel interessant voor de gebruiker en vragensteller en zeker als die al op hogere leeftijd is zoals ik(79)....
Vriendelijke groeten,
Rik

Rik Lemmens
6-10-2013

Antwoord

Hoi Rik dat was geen typefout. Ik zal je proberen nog iets verder te helpen uitgaand van de volgende ( correcte) regel.

$
\sum\limits_{k = 2}^{n + 1} {\frac{1}{{k - 1}} - \sum\limits_{k = 2}^{n + 1} {\frac{1}{{k + 1}}} }
$

Ok, hier heb ik dus een linkersommatie en een rechtersommatie die van de linker wordt afgetrokken. Laat ik eerst van de linker k=2 en k=3 alvast doen. Met de rechter doe ik dus nog niets. Dan krijg ik.

$
\frac{3}{2} + \sum\limits_{k = 4}^{n + 1} {\frac{1}{{k - 1}} - \sum\limits_{k = 2}^{n + 1} {\frac{1}{{k + 1}}} }
$

Kijk nu naar het volgende:
$
\sum\limits_{k = 4}^{n + 1} {\frac{1}{{k - 1}} - \sum\limits_{k = 2}^{n + 1} {\frac{1}{{k + 1}}} }
$

De termen vallen hier van elkaar weg. Linker(4)-rechter(2)=0
Linker(5)-rechter(3)=0 etc.
En nu komt het. Als het linker gedeelte bij n+1 is, dan is het rechter gedeelte nog maar bij n-1

$
\frac{1}{{(n + 1) - 1}} - \frac{1}{{(n - 1) + 1}} = 0
$

Het linker sommatie teken begint bij 4 ( en is dus eerder bij n+1)
het rechter sommatie teken begint bij 2 ( en loopt dus in feite 2 achter)

Nu moet je in het rechtersommatie teken nog de waarde voor n en de waarde voor n+1 invullen.

En dan komt de rest zoals ik al beschreven had. Dus helaas doe je toch iets fout hoor Rik. Ik heb het nog eens nagerekend op de computer en wat ik zeg ik echt juist.

Wat je als voorbeeld geeft klopt ook niet of is onjuist opgeschreven.
4+7+10... is niet (3n+1) Ik zal je hiermee een handje helpen.

$
\begin{array}{l}
4 + 7 + 10......(3n + 1) = \sum\limits_{k = 1}^n {3n + 1} \\
\sum\limits_{k = 1}^n {3n + 1} = (3\sum\limits_{k = 1}^n n ) + n = 3\frac{{n(n + 1)}}{2} + n \\
\end{array}
$

Wil je hier meer uitleg over met eerst wat eenvoudigere voorbeelden dan roep je maar. Mijn naam is trouwens Dennis.

mvg Dennis v L

DvL
6-10-2013