WisFaq!

Verloop van exp en log functies

Beste,

gegeven de familie ven functies f(x)= (x²+a) e^x
1 voor welke waarde van a snijdt de grafiek van f de x-as?
2 voor welke waarde van a heeft de grafiek van f minstens 1 horizontale raaklijn?
3 voor welke waarde van a raakt de grafiek van f de x-as?
4 voor welke waarde van a heeft de grafiek van f geen buigpunt?
5 voor welke waarde van a heeft de grafiek van f een buigpunt met een horizontale buigraaklijn?

deze dingen zijn gevraagd. ik heb al verschillende dingen geprobeert maar niets lijkt te lukken...

f'(x) = e^x (x²+a+2x)
f''(x) = e^x (x²+ 4x + a +2)

1 dit heb ik berekend en hiervoor kom ik a$<$0 uit, en dit zou moeten kloppen.

2 ik denk f'(x)=0 stellen maar dan weet ik niet echt hoe ik dit verder moe uitwerken...

3 ...

4 ik denk f''(x)=0 stellen maar dan weet ik niet echt hoe ik dit verder moe uitwerken...

5 hier heb ik totaal geen idee hoe ik dit moet oplossen


is het mogelijk om me hierbij een handje te helpen?
alvast bedankt

mvg nicolas

nicolas
6-10-2013

Antwoord

Hallo Nicolas,

Ik help je op weg. Je berekening van f'(x) en f''(x) zijn correct, dit is erg belangrijk. Hiermee gaan we de vragen te lijf:

1.
Je antwoord klopt.

2.
Stel inderdaad f'(x)=0. f'(x)=A×B waarin A=e^x en B=(x²+2x+a). Dan moet gelden:
A=0 of B=0.
De vergelijking e^x=0 heeft geen oplossing, dus blijft over:
x²+2x+a=0
Deze vergelijking heeft alleen oplossingen wanneer D$\ge$0. Bereken dus de discrminant D en stel D$\ge$0. Gaat dat lukken?

3.
wanneer een grafiek de x-as raakt, dan geldt in het raakpunt:
f(x)=0 (raakpunt ligt op de x-as) en:
f'(x)=0 (de helling in dat punt is nul).
Los dus het volgende stelsel op:
x²+a=0
x²+a+2x=0

4.
Je kunt een buigpunt verwachten wanneer f''(x)=0. De grafiek mag echter géén buigpunt hebben, dus de vergelijking f''(x)=0 mag juist geen oplossingen hebben. f''(x) wordt alleen nul wanneer geldt:
x²+4x+a+2=0
dus bepaal die waarde van a waarvoor deze vergelijking géén oplossing heeft. Dus nu moet gelden:
D$<$0.

5.
In een buigpunt geldt:
f''(x)=0
Wanneer de buigraaklijn in dat punt horizontaal loopt, dan geldt ook:
f'(x)=0.
Je moet dus het volgende stelsel oplossen:
f'(x)=0, dus: x²+2x+a=0
f''(x)=0, dus: x²+4x+2+a=0

Kan je hiermee verder?

GHvD
6-10-2013