Hoi,
Op de afbeelding zie je met welke situatie we te maken hebben, en heb ik voor de makkelijkheid ook wat dingen een naam gegeven: de hoek ß die de ladder maakt met de grond, de schuine zijde p (tot tegen de muur), en de horizontale afstand x tussen de muur en de plek waar de ladder op de grond staat.
Nu moet je proberen in functie van ß te berekenen wat p is. Dit kan je doen door eerst x te berekenen: x = 2/tanß, en daarna kan je p berekenen: p = (x+1)/cosß. Als je dit dan nog wat verder uitwerkt krijg je dus dat p een functie is in functie van ß. Je kan schrijven dat p = 2/sin(ß) + 1/cos(ß).
Nu wil je dat p zo klein mogelijk is (een minimum dus inderdaad), en dat doe je door de afgeleide van p (in functie van ß) te berekenen, en van die afgeleide de nulpunt(en) te berekenen (op het interval ]0,pi/2[ logischerwijs).
Een andere beantwoorder wist op te merken dat er een veel eenvoudigere oplossing is, maar deze werkt zonder goniometrische vergelijking: je hebt enkel de stelling van Pythagoras en wat basiskennis van gelijkvormige driehoeken nodig:
(stel dat y de hoogte is waar de ladder tegen het gebouw leunt)
$p^2=(x+1)^2+y^2$
met $\eqalign{\frac{2}{x}=\frac{y}{x+1} \Rightarrow y=\frac{2x+2}{x}}$
geeft:
$\eqalign{p^2=\frac{(x+1)^2(x^2+4)}{x^2}}$
Zoeken naar het maximum voor $p^2$ geeft:
$\eqalign{\frac{2(x+1)(x^3-4)}{x^3}}$
$\eqalign{\frac{2(x+1)(x^3-4)}{x^3}=0}$ geeft dat $p^2$ is maximaal voor $\eqalign{x=\sqrt[3]{4}}$
Mvg
cs
29-9-2013