WisFaq!

Convolutieproduct van arithmetische functies

Hallo,

ik ben bezig met huiswerk voor Getaltheorie, en ik heb veel moeite met convolutieproducten van arithmetische functies.

Zo moet (I_k * I_k)(n)= d.n^k, waarbij d het aantal delers van n is, en I_k(n)=n^k

Ik weet dat het convolutieproduct van 2 arithmetischefuncties multiplicatief is, en dus is het voldoende om het voor de priemmachten van n te bewijzen is.

Dus stel n=(p1^r1)*(p2*r2)*..*(ps^rs)

Dan (I_k * I_k)(pi^ri)=åI_k(pi^li)I_k(pi^(ki-li)) (waarbij l loopt van 0 tot k) = åpi^ski.

Ik heb niet het idee dat ik hiermee verder kom, en dat ik dit gewoon niet goed aanpak.

Hoe pak ik zo'n opgave aan?

Idem voor (m * I₁(n) [=f(n)], waarbij m de Möbius-functie en f de Euler-functie.

Excuses voor het rommeltje.

Raymond
15-9-2013

Antwoord

Probeer het met behulp van de definitie:
$$
c(n) = \sum_{i\cdot j=n}a(i)\cdot b(j) = \sum_{i\mathrel|n}a(i)\cdot b(\frac ni)
$$schrijf dat eens uit voor $a(n)=b(n)=n^k$.

Zie Wikipedia [https://en.wikipedia.org/wiki/Arithmetic_function#Dirichlet_convolution]

kphart
16-9-2013