WisFaq!

Het afronden van zwevendekommagetallen

Beste wisfaq,

Zij R* de verzameling van reele getallen met (+/-) oneindig, en F* de verzameling van zwevende kommagetallen met (+/-) oneindig.Zij A(x) de operatie die x naar beneden afrond

A(x)=max{y in F*: y=$<$x}.

A(x) is het grootste getal dat kleiner is dan x of gelijk is aan x.

Ik will aantonen dat A(x):R*-$>$F* de volgende eigenschappen heeft:

(1) x in F* -$>$ A(x)=x

(2) x, y in R* en x=$<$y -$>$ A(x)=$<$A(y).

(3) x in R* -$>$ A(x)=$<$x

Oplossing:
Eigenschap 1 volgt onmiddelijk uit het feit dat x in F*. Een representeerbaar getal hoeft niet meer afgerond te worden.

(2)Zij x1, x2 in R* en x1$\le$x2. Als A(x1)=x1 en A(x2)=x2 dan volgdt direct dat A(x1)=$<$A(x2). Stel dat dit niet het geval is. Dan is A(x1)=y1 voor een zekere y1 en y1$<$x1. En A(x2)=y2 voor een zekere y2 en y2$<$x2.
Als y1=y2 dan volgdt direct dat A(x1)=A(x2). Stel dat dit niet het geval is. Dan is y1$<$x1 en x1$<$x2.

Vraag: Volgt nu direct dat dus A(x1)$<$A(x2)?

Ik weet niet precies hoe ik de derde eigenschap moet aantonen. Ik moet aantonen dat A(x)=y, met y in F*, kleiner of gelijk is aan x in R*? Maar is dit niet altijd het geval omdat de verzameling F* kleiner is dan de verzameling R*? En A(x)=y is een afronding van x en een representatie van x dus het kan nooit groter zijn dat het getal x in R*.

Vriendelijke groeten,

Viky

viky
12-9-2013

Antwoord

Je redeneringen gebruiken de definitie niet, daarom lukken (2) en (3) ook niet. Het argument bij (1) gebruikt het oogmerk van de definitie maar niet de definitie zelf.
Het juiste argument: $x$ behoort tot $F^*$ en dus tot $V(x)=\{y\in F^*:y\le x\}$, verder is $x$ het grootste element van $V(x)$ en daarom geldt $A(x)=x$.
Bij (2): als $x\le y$ dan volgt $V(x)\subseteq V(y)$ en daar volgt ogenblikkelijk uit dat $\max V(x)\le\max V(y)$.
Bij (3): $V(x)$ bestaat uit getallen die kleiner-dan-of-gelijk zijn aan $x$,
dan volgt ogenblikkelijk $\max V(x)\le x$.

kphart
12-9-2013