WisFaq!

Hoe bereken je deze functie

hi wisfaq
ik begrijp niet hoe je dit moet oplossen.de opgave is lineariseer de functie f(x)=√(1+x)in de buurt van x= 0 met(de eerste twee termen van )een Taylorreeks en de uitkomst in het boek is ~(twee van deze tekens onder elkaar )is 1+1/2x
ik dacht dat ik het moet het differentieren
1/2(1+x)^-1/2 als f'(x),f'(x) maar ik kom niet uit op de uitkomst in het boek
wat doe ik verkeerd,hier? help pls and thx zo much

sharon
24-8-2013

Antwoord

Hoi Sharon,
We zullen samen de boel eens onder de loep nemen.

Stap 1) f(0) = √1 = 1
stap 2) f'(0) = 1/(2.√(1+x)) voor x =0 geeft dit = 1/2
stap 3) f''(0)= -¹/₄ ( ga maar na)

Ok, nu gaan we kijken naar de algemene vorm van de Taylorreeks.

T(x)= a + bx + cx² + dx³ ...... etc

Een benadering voor T(x)( waarvoor x=0) is de volgende.
T(0) = a maar T(0) moet gelijk zijn aan f(0)=1 dus a = 1

Nu nemen we de afgeleide van de algemene vorm

T'(x)= b + 2cx + 3dx² etc aangezien f'(0)= ¹/₂ betekent dit dat b= 1/2

We zijn nu al bij de 2e benadering, maar we gaan voor de lol 1 stapje verder.

T''(x) = 2c + 6dx ...etc aangezien f''(0) = -¹/₄ $\Rightarrow$ 2c = -¹/₄ dus c= -1/8

Wat zegt al dit? Dit zegt dat de tayloreeks rond x=0 f(x) goed benaderd. Immers T(0)=f(0) T'(0)= f'(0) en ook T''(0) = f''(0) Je begrijpt dat je op deze wijze oneindig lang door kunt gaan tot orde n als je wilt. Hoe groter de orde hoe nauwkeurig de benadering.

Welnu, de algemene vorm was. T(x)= a + bx + cx² + dx³ ...... etc
we weten a=1 b=1/2 c= -¹/₈ dit vullen we in ( we zijn gestopt bij c) en we krijgen T(x) = 1 + x/2 - x²/8 Je ziet dat ik 1 stapje verder ben gegaan dan ze in jouw boek vragen.

Tot slot even testen of het inderdaad een beetje benadering is voor x rond 0.
x= 0,02 f(x)= 1,0099504 T(x)= 1,00995 Aardig toch wel.
x= 0,8 f(x)= 1,3416407 T(x)= 1,32
x= 0,001 f(x)= 1,0004998 T(x)= 1,0004998
x=2 f(x)=1,73205080 T(x)= 1,5

Je ziet dus ook dat de benadering dichtbij 0 veel beter is, dan wanneer je bijvoorbeeld x=2 kiest. Zou je nu ook een Reeks tot orde 3 kunnen opstellen voor x gaat naar 2 ipv x gaat naar 0 ?

Kun je zo verder?

Mvg Dvl

DvL
24-8-2013