WisFaq!

Haussdorfruimte

als oefening in de cursus topologie stond volgende stelling:
X haussdorfruimte, dan is elk compact deel van X gesloten:

er loopt iets fout als ik dit probeer te bewijzen:
Stel X haussdorf en stel A Ì X compact
te bewijzen: cl(A) = A (cl(A) = sluiting van A)
stel x in cl(A)
=$>$ ultrafilter U zodat A in U en U ® x (= ® = convergeert naar) en definieer functie id: A ® X: a -$>$ a
=$>$ id^(-1)(U) een ultrafilterbasis op A
=$>$ stack(id^(-1)(U)) ® a met a in A (want A is compact) (*)
=$>$ stack( id( stack(id^(-1)(U)))) ® id(a) = a (want id is een continue functie)

nu zou ik stack( id( stack(id^(-1)(U)))) moeten kunnen gelijk praten aan U (en hier zit mijn probleem). want dan kan ik zeggen:
U ® a en omdat X haussdorf is, is a = x en is x in A en dus A gesloten
(*) stel F filter dan F = stack(A) $\le$ $>$ A is basis van F

koen
5-8-2013

Antwoord

$\mathcal{U}$ is een ultrafilter (dat heb je nog niet gebruikt); bewijs dat $\mathrm{stack}(\mathrm{id}(\mathrm{stack}(\mathrm{id}^{-1}(\mathcal{U}))))$ een filter is en dat $\mathcal{U}$ er een deel van is, dan ben je klaar.

kphart
6-8-2013