Robert-Jan zet vanaf zijn 42ste verjaardag elk jaar op zijn verjaardag een vast bedrag B op een spaarrekening. De bank geeft ieder jaar een rente van 3%. Hij gaat hiermee door
tot en met zijn 66ste verjaardag.
$<$strong$>$1) Laat zien dat op de 67ste verjaardag van Robert-Jan de 25 gestorte bedragen B elk uitgegroeid zijn tot een term van een en dezelfde meetkundige rij.$<$/strong$>$
Antwoord: Het bedrag dat hij op zijn 66ste verjaardag gestort heeft, is op zijn 67ste verjaardag uitgegroeid
tot B · 1,03; Het bedrag dat hij op zijn 65ste verjaardag gestort heeft, is op zijn 67ste verjaardag uitgegroeid
tot B · 1,03^2; Het bedrag dat hij op zijn 64ste verjaardag gestort heeft, is op zijn 67ste verjaardag uitgegroeid
tot B · 1,03^3;etc. De bedragen vormen dus een rij met formule un = B · 1,03n. Dit is een meetkundige rij met reden 1,03.
Mijn redenering: Deze formule uit het antwoord lijkt erop te duiden dat het gespaarde bedrag alleen op basis van rente groeit. De bedragen vormen volgens het antwoord een meetkundige rij op basis van gegeven formule. Bijvoorbeeld U(24)= B * 1,03^24, dit zou echter betekenen dat alleen een éénmalig gestort bedrag 'B' 24 jr. groeit op basis van 3% rente. Dus de jaarlijks gestorte bedragen B (ook groeiend op basis van rente) zijn hier niet bij opgeteld.
Er zou toch rente berekend moeten worden over het totale bedrag op de spaarrekening en niet alleen over één stortbedrag B, hoe lang dit ook op de rekening staat. Dus naar mijn idee, formule van de recursieve vorm: U(n)= U(n-1)* 1,03 + B met U(0)=B op een gegeven verjaardag. Directe formule: U(n)= B * 1,03^n + B(1,03^(n-1)+1,03^(n-2)+...1,03^0),dit zijn eigenlijk meteen formules voor de som van het totale bedrag.
Zou het dan kunnen dat een los bedrag (dat evt. bij het geheel op komt) ontstaat uit het jaar daarvoor gestorte bedrag B * 1,03 ^ 1. Dit op zichzelf staande bedrag wordt dan bepaald vóór de storting van nieuw bedrag B dat op dezelfde dag erbij gestort wordt. Dit op zichzelf staande bedrag kan over de jaren groeien met 1,03^n, en is een term uit onbekend lange rij n. Dus bvb. U(15)= B * 1,03 ^ 15, betekend dit dan het bedrag B dat hij bvb. op zijn 51e verjaardag stort is uitgegroeid tot U(15) op zijn 66e. Of het bedrag B dat hij op zijn 42e stort is uitgegroeid tot U(15)op zijn 57e?
$<$strong$>$2) Bereken hoe groot het bedrag B moet zijn als Robert-Jan op zijn 67ste verjaardag totaal 20.000 euro gespaard wil hebben.$<$/strong$>$
Antwoord: De totale waarde van het bedrag dat Robert-Jan gespaard heeft is de som van een meetkundige
rij met eerste term U1 = B · 1,03, laatste term U25 = B · 1,03^25 en reden 1,03. De som van de termen van deze rij is gelijk aan (U25+1 − U1)/(r − 1) = (B·1,03^26 − B·1,03)/(1,03 − 1) = B · (1,0326 − 1,03)/0,03
B · 37,553.
Dit moet gelijk zijn aan 20.000, dus B · 37,553 = 20.000.
Hieruit volgt B = 20.000 / 37,553 532,58.
Mijn redenering: Ten eerste, hoe kan de eerste term B * 1,03 zijn. Het eerste gestorte bedrag (van de in tot. 25) op zijn 42e verjaardag is toch B en hier krijgt hij niet meteen rente bij opgeteld gezien het pas op dat moment gestort is, dus eerste term is U0 = B? Echter zou ik nu mijn formule gebruiken voor het totale bedrag, namelijk: U(n)= B * 1,03^n + B(1,03^(n-1)+1,03^(n-2)+...1,03^0). Dan zou ik één maal de reden tekort komen voor het jaar tussen zijn 66e en 67e verjaardag (op 67 maakt hij namelijk geen B meer over dus n moet 24 zijn). Dit zou ik kunnen oplossen door geheel tussen haakjes te zetten en elke 'n' één kleiner maken en dan (...)* 1,03. Voor tot. bedrag 67e verjaardag geldt dan $>$
U(25)= (B * 1,03^(n-1) + B(1,03^(n-2)+1,03^(n-3)+...1,03^0)) * 1,03 =
(B * 1,03^24 + B(1,03^(23)+1,03^(22)+...1,03^0)) * 1,03 = (B * 1,03^24 + B * (U24-U0)/(1,03-1)) * 1,03 =
(B * 1,03^24 + B * (1,03^24-1,03^0)/(0,03)) * 1,03 =
(B * 1,03^24 + B * (1,03^24-1,03^0)/(0,03)) * 1,03 =
(B * 1,03^24 + B * (1,03^24-1,03^0)/(0,03)) * 1,03
(B * 2,0328 + B * 34,4265) * 1,03
(B * 36,4593) * 1,03
B * 37,5530. Dit moet 20000 zijn dus $>$ B * 37,5530 = 20000,
B = 20000/37,5530
532,58. Dit is hetzelfde antwoord als gegeven antwoord, ik heb alleen veel moeilijker zitten doen. Dit is echter de voor mij juiste berekening die ik ook begrijp. De gegeven berekening klopt in mijn ogen niet met het verhaal.
Heb ik deze opgaven goed bekeken en beredeneerd? Ik hoor het graag van u, alvast bedankt.
Stefan
26-7-2013
, waarbij de n aangeeft om het hoeveelste element in de rij het gaat. Dus met het vinden van die formule uit het antwoord, is dus aangetoond dat het gaat om allemaal elementen uit een meetkundige rij. 