WisFaq!

Fermatgetallen

Beste mensen van wisfaq, ik heb de volgende vraag.

als 2^m+1 = priem, dan zou m= 2ⁿ moeten gelden.

Ik kom tot het volgende uiteindelijk waaruit deze conclusie moet worden getrokken, maar ik zie niet hoe die conclusie eruit volgt.

1) 2^m/p +1 is een deler van 2^m +1 p=priem
2) stel 2^m+1 = priem

dan volgt uit 1 en 2 m = 2ⁿ ?? hoe komt men tot die conclusie? Hoezo volgt dat uit 1 en 2

dennis
22-7-2013

Antwoord

Stel dat m geen macht van 2 is.
Dan heeft m een oneven deler b die groter is dan 1.
Dus m=ab waarbij 1 $\le$ a,b $\le$ m, b groter dan 1 en a kleiner dan m.
Dan geldt modulo 2^a+1:
2^m+1 º (2^a)^b+1 º (-1)^b+1 º 0.
Dus dan is 2^m+1 deelbaar door 2^a+1, welk laatste getal groter is dan 1 en kleiner dan 2^m+1, en dus is 2^m+1 niet priem.

U doet het met b:= oneven priemdeler p, en a:= m/p.
Dat kan ook, op dezelfde manier als hierboven.

hr
23-7-2013