Dit lijkt een goed voorstel: bn+1=p+q/bn (n>1, p<>0).
Met b1=p=p+q/b0, zou q/b0=0. Dit kan enkel als q=0 en dan is elke waarde verschillend van 0 mogelijk voor b0. Als q<>0, dan bestaat er geen waarde voor b0.
Als er een limietwaarde b bestaat, dan moet gelden dat lim(n®¥,bn+1)=lim(n®¥,p+q/bn), zodat b=p+q/b.
Of: b2-p.b-q=0, zodat b=(p+
(p2+4q))/2 of b=(p-(p2+4q))/2. Als p2+4q<0, dan divergeert de rij en bestaat de limiet niet.
Als p2+4q=0, dan convergeert de rij naar p/2.
Als p2+4q>0, dan convergeert de rij naar (p+
(p2+4q))/2 of (p-(p2+4q))/2. Voor p en q strikt positief, zijn alle termen positief. Bovendien is (p-
(p2+4q))/2<0, zodat de limiet (p+(p2+4q))/2 is. Maar eigelijk moeten we dit voor alle waarden van p en q bespreken. Na simulatie in Excel had ik een vermoeden dat we de limietwaarden met +
moeten nemen als p>0 en die met - als p<0. De limiet zou dan (p+sign(p).(p2+4q))/2 (sign(p)=1 als p>0 en -1 als p<0). De limiet zelf heeft dan ook hetzelfde teken als p.
We bewijzen dit door aan te tonen dat alle bn aan dezelfde kant van p/2 moeten liggen. De limiet moet dan ook aan dezelfde kant van p/2 als b1=p liggen...
Voor p>0 hebben we dat b1=p>p/2. We bewijzen nu dat als bn>p/2, dat dan ook bn+1>p/2.
We weten dat bn>p/2>0, dus dat 1/bn<2/p en -1/bn>-2/p. We weten ook dat p2+4q>0, dus q>-p2/4. Welnu: bn+1=p+q/bn>p-p2/(4.bn)>p-p2/4.2/p=p-p/2=p/2.
Analoog bewijs je dat met p<0 alle bn < p/2.
Hiermee is het vermoeden dus bewezen. De limiet bestaat voor p2+4q>0 en is (p+sign(p).
(p2+4q))/2. Groetjes,
Johan
andros
29-1-2003