WisFaq!

Kern

Hoe kan ik ker(A) berekenen van de volgende matrix?
A={{1,0,2},{0,1,1},{1,2,3}}
Ik moet na gaan dat Ax=b voor iedere b E R³ een uniek bepaalde oplossing is. Wat houd dat precies in? Waar staat Ax=b voor?

Jos
28-1-2003

Antwoord

Hoi,

Het gaat hier om een lineaire afbeelding f met karakteristieke matrix A. De kern van f bestaat uit alle vectoren vγ waarvoor f(v)=0 of A.v=0. Dit betekent dat ker(f)=ker(A)={0}.

Je gaat na dat det(A)=-1 en het stelsel A.v=0 dus precies één oplossing heeft, namelijk 0.

A.x=b stelt een vergelijking voor. Als b={b₁,b₂,b₃} en x={x₁,x₂,x₃}, dan is A.x=b een korte notatie voor:
1.x₁+0.x₂+2.x₃=b₁
0.x₁+1.x₂+1.x₃=b₂
1.x₁+2.x₂+3.x₃=b₃

Je moet dus bewijzen dat dit stelsel precies één oplossing heeft voor elke mogelijke b. Welnu, dit volgt ook uit het feit dat det(A)<>0, zodat A^-1 bestaat. De oplossing is dan: x=A^-1.b. Je moet dus A^-1 berekenen voor deze waarde van A. Hoe dit gaat, vind je in elk handboek over lineaire algebra/matrixrekenen...

Groetjes,
Johan

andros
29-1-2003