WisFaq!

Formule Viète

In de methode van Viete om pi te berekenen gaat hij op een gegeven moment aan de slag met een limiet. De formule is:
sinx/x = 2k/x sin (x/2k) × cos x/2 × cos x/4 × ..... × cos (x/2k)

De k uit deze formule laat hij naar oneindig gaan.Dan geldt:
lim (k®¥) 2k/x sin x/2k = lim (k®¥) sin (x/2k) / x/2k = lim (t®0) sin(t)/t = 1

ik snap niet waarom de limiet plots verandert en plot naar 0 gaat? tenslotte mag je geen o hebben in de noemer? hoe kan dit?

Babette
1-6-2013

Antwoord

Er gebeurt niet veel meer dan dan $\frac{x}{2k}$ hernoemd wordt tot $t$. Als $k$ naar oneindig gaat, dan gaat $\frac{x}{2k}$ naar nul, vandaar
$$
\lim_{k\to\infty}\frac{\sin\frac{x}{2k}}{\frac{x}{2k}}=\lim_{t\to0}\frac{\sin t}{t}
$$
Het laatste $=$-teken vertegenwoordigt een welbekende limiet.
We vullen op geen enkel moment $t=0$ in; we kijken slechts waar de waarden van $\frac{\sin t}{t}$ zich concentreren als $t$ (zeer) dicht bij $0$ zit en ze concentreren zich rond $1$.

kphart
3-6-2013