WisFaq!

Uitputtingsmethode

Goedenavond meneer/mevrouw,

Ik worstel al drie dagen met een vraagstuk waar ik maar geen oplossing voor kan vinden. Het gaat om de volgende vraag:
bepaal alle natuurlijke getallen a, b en c die voldoen aan de volgende drie vergelijkingen;
ab + c = 304
ca + b = 169
bc + a = 416

Als ik ze van elkaar zou kunnen aftrekken zou ik al een eind komen, maar daar loop ik juist vast. Een voorbeeld:
bc + a = 416
ab + c = 304
bc-ab+a-c = 112, ofwel b(c-a)+ a-c=112. Verder kom ik niet en ik weet niet of dit überhaupt de juiste manier is. Kunt u mij aub verder helpen.Alvast hartelijk dank!!

Frans van den Burger

Hartelijk dank

Frans
20-5-2013

Antwoord

De door jou gemaakte aftrekking schrijf je als (a-c)(1-b) = 112
De twee andere combinaties van aftrekking leiden tot (a-b)(1-c) = 247 en (a-1)(b-c) = 135

Gebruik nu 247 = 13·19 of 247 = -13 · -19 (twee priemfactoren)
De getallen 135 en 112 hebben meer factorisaties wat in elk geval meer werk geeft.
Omdat je natuurlijke oplossingen zoekt, is 1-c = 13 of 1-c = -13 of 1-c = 19 of 1-c = -19
Je vindt 4 mogelijke waarden voor c waarvan er al direct 2 vervallen omdat ze negatief zijn.
De andere mogelijkheden zet je in de twee laatste vergelijkingen om bijpassende a en b te vinden. Vergelijking 1 daarmee controleren.
Je vindt a = 10 en b = 29 en c = 14

MBL
21-5-2013