WisFaq!

Stelling bewijzen met machtreeks

Het lukt mij niet om deze stelling te bewijzen. Ik zie het gewoon niet in. Ik ben begonnen met de rij n boven 0, n boven 1, n boven 2, etc. Ik ben het overzicht kwijtgeraakt, graag tips of hulp bij het bewijzen:

Bewijs m.b.v. machtreeks:
sommatie (n boven k)·k = n·2^n-1, met n$>$0
n=0 naar oneindig

Oscar
5-5-2013

Antwoord

Stap 1:
Werk n·(1 + b)^n-1 uit met behulp van het binomium van Newton en neem vervolgens b = 1. Enerzijds heb je dan direct al n·2^n-1 te pakken, anderzijds krijg je een optelsom van termen die steeds de vorm hebben n·[(n-1) boven k] waarbij k loopt van 0 t/m (n-1).

Stap 2:
Laat zien dat n·[(n-1) boven k] hetzelfde is als (k+1)·[n boven (k+1)]

Stap 3:
Verwerk het resultaat van stap 2 in de optelsom die in stap 1 werd vermeld.

MBL
7-5-2013