WisFaq!

Complex machtsverheffen

Hoi,

Ik zit met de volgende opgave:

Herleid tot de vorm a + bj met a en b in IR:
(2-7j)¹³

Nu lukt mij dit herleiden bij eenvoudige deel- en vermenigvuldigsommetjes, maar met dit machtsverheffen snap ik het niet helemaal.

De uitwerking zou als volgt moeten zijn:
2-7j = √53 ·e^{arctan(-7/2)·j}
(2-7j)¹³ = 53^6.5·e^-1,29·13j
= -7,40·10¹⁰+1,43·10¹¹·j

Jack
26-4-2013

Antwoord

Wanneer je het complexe getal z tekent als punt in het complexe vlak, dan teken je in feite op de bekende manier het punt met coördinaten (2,-7).
De vector van (0,0) naar (2,-7) heeft lengte √(53) en dit is de zogeheten modulus |z| van z.
De vector van (0,0) naar (2,-7) maakt een negatieve hoek j (het argument)met de horizontale as en de tangens van deze hoek j is -7/2 ofwel j = arctan(-7/2).
Rekenmachines geven voor deze hoek een waarde op van (ongeveer) -74,1° en als je in radialen werkt (is gebruikelijker) -1.29 rad.
Nu weet je (zo niet, dan aan de studie!) dat, wanneer je z tot de dertiende macht verheft, de modulus óók tot de dertiende macht wordt verheven en dat de hoek 13 keer zo groot wordt.
Nu zul je wel het een en ander herkennen in je antwoord.
(√(53))¹³ = 53^6.5 en in de exponent zie je duidelijk -1.29·13 staan.
Daarna is er nog wat ingetikt om de boel iets te stroomlijnen, maar in feite zou dat niet eens meer nodig zijn.

MBL
27-4-2013