WisFaq!

Praktijkopgave

Hey allen!

Ik doe HBO werktuigbouwkunde, deeltijd, propedeuse, 4e periode. Nu moeten wij voor wiskunde (exact D) een aantal 'praktijkopgaven differentieren' oplossen, hierbij mogen we Derive gebruiken.

Nu zit ik met het volgende probleem:

Op de hoeken van een denkbeeldig vierkant (100x₁00m) staan 4 torens. De torens zijn met elkaar verbonden door 2 symmetrische bruggen. Bepaal de totale lengte van de brug als deze minimaal is.

A    E    B
  \     /
    \F/
     |      100m
     |
    /H\
  /     \
C    G    D
    100m

Als ik het verdeel in vlakken dan heb ik links 2 driehoeken en een rechthoek (en rechts ook), met horizontale zijdes 50m. Ik heb deze zijdes AE en CG genoemd.
FH = 100 - EF - HG
EF = HG dus FH = 100 - 2EF

Om het in pythagoras te verwerken neem ik EF = a, 50 = b, c=? Hier uit volgt a = (100-HF)/2 dus in pythagoras:
√(((100-HF)/2)² + 50²) = c

Nu komt hier een kwadratische vergelijking uit, maar ik weet niet of dit juist is, want als ik deze differentieer en gelijk stel aan 0 komt er HF = 100 uit, wat natuurlijk niet kan...

Wat doe ik fout, of hoe moet ik het anders aanpakken?
Alvast bedankt!
Dre

PS het antwoord is gegeven: L = 273.21m

Dre
22-4-2013

Antwoord

Als ik 't goed begrijp is dit de situatie:



Punt S kan je verplaatsen. De vraag is dan waar S moet liggen om er voor te zorgen dat de totale lengte van de vijf lijnstukken minimaal is.

Ik neem voor $x$ de lengte van PS. Dan is de lengte van CS gelijk aan:

$
\sqrt {50^2 + (50 - x)^2 }
$

Alles bij elkaar:

$
Lengte = 2x + 4\sqrt {50^2 + (50 - x)^2 }
$

Differentiëren, op nul stellen en oplossen geeft:

$
x = 50 - \frac{{50\sqrt 3 }}{3}
$

Invullen in de formule geeft:

$
Lengte = 100\sqrt 3 + 100
$

...en wat denk je? Klopt als een bus...

SAMENGEVAT: kies een variabele $x$ (bijvoorbeeld de lengte van AD) en druk de lengte van de andere lijnstukken uit in $x$, maak er een mooie formule van en laat Derive het werk doen...

WvR
22-4-2013