WisFaq!

Re: Ondergroep

Is onderstaande dan correct:
Zij n=4. We beschouwen de verzameling van 3-cykels. Dit is een deelverzameling van Sn. De 3-cykels hebben orde 3 (oneven). We kijken of dit een ondergroep is van Sn. Er geldt dat (123)(124)=(14),(23). Dit zijn twee disjuncte cykels en zitten dus niet in de verzameling van 3-cykels. De verzameling van 3-cykels vormt dus geen ondergroep van Sn.
Naar mijn idee is dit echter een voorbeeld van elementen van oneven orde die geen ondergroep vormen in Sn voor n3, maar het moet toch gelden voor álle elementen van orde 3?

Laura
14-4-2013

Antwoord

Als moet laten zien dat een bepaalde deelverzameling $X$ van een groep $G$ geen ondergroep is hoef je maar twee elementen $a$ en $b$ van $X$ te vinden zó dat $a*b$ niet in $X$ zit; de beide drie-cykels hebben orde $3$ (oneven); hun product heeft orde $2$ (even). Klaar!
Dat er ook drie-cykels zijn met een product dat oneven orde heeft doet er niet toe; één paar met een verkeerd product is al genoeg.

kphart
16-4-2013