WisFaq!

2e orde differentiaal

Beste mensen, ik heb de volgende vraag.
stel ik heb een vergelijking van de 2e orde differentiaal.

aY''+ bY' +cY=0
Deze is op te lossen als je stelt dat Y=e^rx De oplossing heeft dan de vorm van y= c.e^r₁x + b.e^r₂x ( waarbij c en b niet dezelfde zijn als in de oorspronkelijke vergelijking)

Echter wat moet je nu doen als aY''+ bY' +cY= d waarbij d een constante is dus niet de vorm heeft van G(x). kan iemand mij dat uitleggen met een voorbeeld. bij voorbaat dank.

dennis
28-3-2013

Antwoord

Als voorbeeld: y'' + 3y' + 2y = 4.
De bijbehorende homogene vergelijking luidt m² + 3m + 2 = 0 met de oplossingen m = -1 resp. m = -2.
De oplossing van de DV y'' + 3y' + 2 = 0 is dan y = c₁e^-2x + c₂e^-x.
De theorie leert nu dat als het rechterlid van de DV een functie Q(x) is, de particuliere oplossing een combinatie is van Q(x) plus al zijn afgeleiden (waaraan overigens nog wel enkele eisen moeten worden gesteld).
Hier is Q(x) = 4 en alle afgeleiden zijn dus 0.
In dat geval is een particuliere oplossing snel te zien, namelijk y = 2 (vul maar in!)
Conclusie: y = c₁e^-2x + c₂e^-x + 2 is de volledige oplossing.

Als Q(x) niet een constante is, dan is de zoektocht naar een particuliere oplossing bepaald niet eenvoudig.

MBL
2-4-2013