WisFaq!

Vraagstuk vwo som meetkundige rij

Een juwelier bedekt de diagonaal van een zilveren vierkant met zijde 1 door er oneindig veel gouden vierkantjes op te leggen op de volgende manier:
1) De zijden zijn steeds evenwijdig met die van het originele vierkant.
2) De zijden van de gouden vierkantjes zijn precies de helft of het dubbele van die welke ernaast gelegen zij en het middelste gouden vierkantje is het grootste.
3) Elk van de middelpunten van de gouden vierkantjes ligt op één diagonaal van het zilveren vierkant en op een afstand van één van de hoekpunten (van dat zilveren vierkant) gelijk aan 1/2,1/4,1/8,1/16,... van de lengte van die diagonaal.
4) De naburige gouden vierkanten hebben een hoekpunt gemeen.

a) Bepaal de zijde van de middelste gouden vierkant.
b) Bepaal de totale oppervlakte van het goud.

mijn oplossing
a) s=U1/1-Q
Ö2 = U1/(1/2)
(Ö2)/2= U1
dit is de diagonaal van het groot goud vierkant
via pythagoras
kom ik aan een zijde van 1/2

sara
24-3-2013

Antwoord

Hallo Sara,

Jouw oplossing zou kloppen wanneer het grootste vierkant aan het begin van een diagonaal zou liggen, en daarnaast steeds een vierkant dat twee keer zo klein is. De situatie is echter iets ingewikkelder. Maak maar eens een schets:



Je ziet dat het handig is om slechts één kwart van het grote vierkant te bekijken, bijvoorbeeld links-onder. Hierin zien we wel iets van een meetkundige rij. Het middelste vierkant is dan lastig, want dit ligt maar gedeeltelijk in in dit kwart deel. Daarom noem ik de zijde van het op-één-na grootste vierkant a (het gearceerde vierkantje). De totale hoogte van dit gearceerde vierkantje en de kleinere vierkantjes bereken je met:

h_totaal=a + ¹/₂a +¹/₄a + ....

Hieruit volgt:

h_totaal = 2a (reken dit zelf na).

De zijde van het grote vierkant in het midden is 2a (2 keer zo groot als van het gearceerde vierkant), en de hoogte van de reeks kleine vierkantjes rechtsboven is natuurlijk ook 2a. De totale hoogte van het grote zilveren vierkant is dus 3 x 2a = 6a. Volgens de gegevens is deze totale hoogte gelijk aan 1, dus:

6a = 1
a = 1/6
dus: zijde grote vierkant in het midden = 2a = 1/3.

OK zo?

GHvD
25-3-2013