WisFaq!

Isometrieen

Ik ben aan het bewijzen dat als phi: R₂$\to$R₂ een lineaire afbeelding is de volgende uitspraken equivalent zijn:
-voor alle x in R₂ geldt absolute waarde van phi(x) = absolute waarde van x
-voor alle x,y in R₂ voldoet het inproduct aan =
Ik begrijp niet goed hoe ik moet beginnen, want ik hoe is de bijvoorbeeld gedefinieerd?

Roos
1-3-2013

Antwoord

De lengte, $\|x\|$, van een vector $x$ voldoet aan $\|x\|^2=x\cdot x$.
Omgekeerd kun je het inwendig product in de lengte uitdrukken:
$$
x\cdot y = \frac14(\|x+y\|^2-\|x-y\|^2)
$$
Hiermee kun je de equivalentie bewijzen van
1. voor alle $x$ geldt $\|x\|=\|\phi(x)\|$, en
2. voor alle $x$ en $y$ geldt $x\cdot y = \phi(x)\cdot \phi(y)$

kphart
2-3-2013