WisFaq!

Kaas, muis en een kat

kamer 1 - kamer 2 - kamer 3 - kamer 4.

Wat is de kans dat (als ik me bijvoorbeeld in kamer 3 bevind) ik in kamer 1 terecht kom als de kans om een deur te kiezen ¹/₂ is. Dus bijv. kamer 3 en dan kamer 2 en dan weer kamer 3 etc. Als ik het ¹/₂² + ¹/₂⁴ en zo alle mogelijkheden nalopen, dan ben ik nooit klaar want het aantal mogelijkheden is eindeloos. Hoe los ik dit op?

Asmir
19-2-2013

Antwoord

Het is niet helemaal helder omschreven wat je bedoelt.
Ik neem aan dat je bedoelt: wanneer je eenmaal in kamer 1 bent gekomen blijf je daar ook.

Je begint als volgt: (getallen stellen de kansen voor om in kamer 1, 2, 3 of 4 te zijn:

begin: 0,0,1,0
na 1 keer: 0,1/2,0,1/2
na 2 keer: 1/4,0,3/4,0
na 3 keer: 1/4,3/8,0,3/8
na 4 keer: 1/4+3/16,0,3/16+3/8,0=7/16,0,9/16,0
na 5 keer: 7/16,9/32,0,9/32
na 6 keer: 7/16+9/64,0,9/64+9/32,0=37/64,0,27/64,0
Wanneer we nu alleen op de even keren letten krijgen we:
na 0 keer: 0,0,1,0
na 2 keer: 1/4,0,3/4,0
na 4 keer: 7/16,0,9/16,0
na 6 keer: 37/64,0,27/64,0

We zien dus dat de kans om na 2n keer in kamer 3 terug te zijn gelijk is aan (3/4)ⁿ.
De kans om na 2n keer in kamer 1 te zijn beland is dus 1-(3/4)ⁿ aangezien de kans om na een even aantal keren om in kamer 2 of 4 te zijn gelijk is aan 0.

hk
20-2-2013