WisFaq!

Tellen van paartjes

Beste mensen van wisfaq.

Ik heb 4 koppels (man vrouw koppels). Totaal dus 8 personen 4 m en 4 v. Deze gaan naast elkander zitten op dusdanige manier dat niemand naast zijn eigen partner zit, maar wel naast iemand van het andere geslacht. Kortom m en v zitten om en om.,maar nooit naast je eigen partner.

Hoe los ik deze vraag op?

Stel je nu eens voor dat het aan een ronde tafel is, dus dat de laatste en de eerste in een rij eigenlijk ook geen partners meer mogen zijn? Op hoeveel manieren kan dit?

Nu kun je het het gewoon uitschrijven, maar ik wil graag de beredenering zodat ik snap hoe het zit als het voor n koppels is.

Bij voorbaat dan weer.

dennis
28-1-2013

Antwoord

Dag Dennis,
Je stelt een moeilijke vraag, maar de on-line encyplopedy of integer sequences (oeis.org) biedt hulp.
Kijk bij A059375: Daar staat een lijst met antwoorden op jouw vraag.
Je zou die antwoorden kunnen delen door 2n, omdat je de tafel kan draaien.

Om het zelf te berekenen staat daar:
a(n)=2·n!·A000179=2·n!·A(n).
En bij A000179 vind je de recursieve formule
A(n)={(n²-2n)·A(n-1)+n·A(n-2)-4(-1)ⁿ}/(n-2) voor n>3.
Om te starten: A(2)=0 en A(3)=1.
Dat geeft:
A(4)={(16-8)·1-4·1}/2=2 en dan a(4)=2·24·2=96. (Of 96/8=12)
A(5)={25-10)·2+5·1-4(-1)}/3=13 en dan a(5)=2·120·13=3120 (of 3120/10=312)
Groeten,
Lieke

ldr
10-2-2013