WisFaq!

Partiëel integreren voor gevorderden...

sorry maar zou het geven da'k nog een vraagje stel over partiëel integreren want 'k heb het echt nog niet door
volgende week overhoring , en 'k kom nog geregeld oefeningen tegen , .... die ik echt nie zie zitten

hier gaan we dan , hopelijk wil er iemand mij hier nog mee helpe ... ( alvast bedankt )

integreer : (x+sin(x))/(1+cos(x))
en

integreer : (x)*(e^x)*(sin(x))

alvast bedankt, 'k vermoed dat ik het principe nog niet echt doorheb .

benjamin

benjamin
25-1-2003

Antwoord

Hoi,

Dit zijn dan ook twee kanjers van integralen… Je hoeft je zeker niet te schamen als je deze niet in één, twee, drie opgelost hebt… Deze integralen zijn dan ook niet echt goede voorbeelden om na te gaan of je het principe van partieel integreren doorhebt.

eerste integraal
Op het eerst zicht dacht ik dat je Int((1+cos(x))/(x+sin(x)).dx) bedoelde…
Dan hebben we:
Int((1+cos(x))/(x+sin(x)).dx)=
Int((x+sin(x)).d(x+sin(x)))=
Int(d(ln(x+sin(x))))=
ln(x+sin(x))+c….

Maar bij nader toezien was dit niet wat je vroeg…
Int((x+sin(x))/(1+cos(x)).dx)=
Int((x+2.sin(x/2).cos(x/2))/(2.cos²(x/2)).dx)=
1/2.Int(x/cos²(x/2)).dx)+Int(sin(x/2)/cos(x/2).dx)=
Int(x/cos²(x/2)).d(x/2))+Int(tg(x/2).dx)=
Int(x.d(tg(x/2)))+Int(tg(x/2).dx)=
x.tg(x/2)-Int(tg(x/2).dx)+Int(tg(x/2).dx)=
x.tg(x/2)+c

Narekenen levert inderdaad: d/dx(x.tg(x/2)+c)= (x+sin(x))/(1+cos(x))…

tweede integraal
I₁=
Int(x.exp(x).sin(x).dx)=
Int(x.sin(x).d(exp(x)))=
x.sin(x).exp(x)-Int(exp(x).d(x.sin(x)))=
x.sin(x).exp(x)-Int(exp(x).(1.sin(x)+x.cos(x)).dx)=
x.sin(x).exp(x)-Int(exp(x).sin(x).dx)- Int(x.exp(x).cos(x).dx)=
x.sin(x).exp(x)-Int(exp(x).sin(x).dx)- Int(x.cos(x).d(exp(x)))=
x.sin(x).exp(x)-Int(exp(x).sin(x).dx)- [x.cos(x).exp(x)-Int(exp(x).d(x.cos(x)))]=
x.sin(x).exp(x)-Int(exp(x).sin(x).dx)- x.cos(x).exp(x)+Int(exp(x).(1.cos(x)-x.sin(x)).dx)=
x.sin(x).exp(x)-Int(exp(x).sin(x).dx)- x.cos(x).exp(x)+Int(exp(x).cos(x).dx)-Int(x.exp(x).sin(x).dx)=
x.exp(x).(sin(x)-cos(x))-I₂+ I₃- I₁

Een van de integralen hierin is
I₂=
Int(exp(x).sin(x).dx)=
Int(sin(x).d(exp(x)))=
sin(x).exp(x)-Int(exp(x).d(sin(x)))=
sin(x).exp(x)-Int(exp(x).cos(x).dx)=
sin(x).exp(x)-Int(cos(x).d(exp(x)))=
sin(x).exp(x)-[cos(x).exp(x)-Int(exp(x).d(cos(x)))] =
sin(x).exp(x)-cos(x).exp(x)-Int(exp(x).sin(x).dx) =
exp(x).(sin(x)-cos(x))-I₂

zodat
I₂= Int(exp(x).sin(x).dx)=exp(x).(sin(x)-cos(x))/2+c

Je rekent zelf na dat
I₃=Int(exp(x).cos(x).dx)= exp(x).(sin(x)+cos(x))/2+c

We hebben dus dat:
2.I₁=
x.exp(x).(sin(x)-cos(x))-I₂+ I₃=
x.exp(x).(sin(x)-cos(x))-exp(x).(sin(x)-cos(x))/2+exp(x).(sin(x)+cos(x))/2+c=
x.exp(x).(sin(x)-cos(x))+exp(x).cos(x)+c=
exp(x).[x.sin(x)+(1-x).cos(x)]+c

zodat
I₁= exp(x).[x.sin(x)+(1-x).cos(x)]/2+c

Narekenen levert inderdaad dat d/dx(I₁)= x.exp(x).sin(x)

(Voor de volledigheid heb ik integratieconstanten toegevoegd… bij partieel integreren heb ik het 'pivotstukje' vetjes gezet...)

Groetjes,
Johan

andros
27-1-2003