WisFaq!

Ellips

Gegeven t.o.v. een georthonormeerd assenstelsel
E: x²/a² + y²/b² = 1

Nemen d op E en noemen § de hoekgrootte van de georiënteerde hoek met de grootte as en [od

Bewijs ||od||² = a²b²/(a²sin²(§)+ b²cos²(§))

Ik begin met de coordinaat van d te benoemen, namelijk d(a.cos(§) , b.sin(§))

dan ||od||² = a²cos²(§) + b²sin²(§)

ik weet dan echter niet hoe ik verder moet gaan, ik heb teller en noemer al proberen delen door
(a²sin²(§)+ b²cos²(§))
maar, dan loop ik ook steeds vast, kan iemand me helpen aub?

Mvg

Dirk
20-1-2013

Antwoord

We nemen de ellips x²/16 + y²/9 = 1 waarop het punt D (2,1¹/₂Ö(3)) ligt.
De gemaakte keuze komt neer op a = 4 en b = 3 en j = 60° (overigens wordt deze hoek wel de excentriciteitshoek genoemd).
De 'gewone' formule voor de afstand OD levert nu op
OD² = 4 + 27/4 = 10,75
De te bewijzen formule levert op:
OD² = (4².3²)/[(4².(¹/₂Ö(3)²) + 3².(¹/₂)²] =
144/(16.³/₄ + 9.¹/₄) = 192/19
De twee berekende afstanden zijn niet gelijk, al scheelt het in dit geval weinig.
De stelling lijkt me dus onjuist. Kijk nog eens na of dit inderdaad de gestelde vraag is.
De formule die je wilt bewijzen heeft wel een betekenis. Wanneer je in het punt D de raaklijn trekt aan de ellips, dan heeft het punt O een (gekwadrateerde) afstand tot deze raaklijn die gelijk is aan hetgeen in je formule staat. Ook daarom kan het niet gelijk zijn aan OD, want dan zou OD gelijk zijn aan de beschreven afstand tot de raaklijn en dat botst met de stelling van Pythagoras.

MBL
20-1-2013