WisFaq!

Differentiaalvergelijkingen

Ik heb volgende week een toets en ben nu aan het oefenen, maar kom nie uit sommige opgaven. Zou u mij alstublieft kunnen helpen?

Voor t≥0 is gegeven de differentiaalvergelijking dy/dt=py^2 – 6y + 3p.
Voor welke waarden van p
a. zijn alle oplossingskrommen dalend
Hier heb ik D< 0 en kwam uit op p<-√3 V p>√3, maar wanneer ik p>√3 op mijn rekenmachine plot, krijg ik een grafiek die zich helemaal boven de x-as bevindt. Wat doe ik hier fout???

b,c en d snap ik niet.
b is de oplossingskromme met y(0) = 1 stijgend
c is de oplossingskromme met y(0) = 3 een rechte lijn
d heeft de oplossingskromme met y(0) = 1 de lijn y = 2 als horizontale asymptoot?

Voor de groei van een populatie geldt het dynamische model dN/dt=p*N*(1-(N/q)).
Hierin is N de populatie in duizendtallen en t de tijd in jaren. De constanten p en q hangen af van een aantal externe factoren zoals de oppervlakte van het leefgebied en de beschikbare hoeveelheid voedsel.
a Voor welke waarde(n) van N(0), p en q geldt dat N maximaal 150 is? Ik heb hier dit gedaan:
150p(1-(150/q)) = 0 en kwam uit op p>0 en q = 150, maar wat moet ik met N(0) doen????

b Een onderzoeker heeft vastgesteld dat bij N = 50 hoort dN/dt=7,5 en dat bij N = 120 hoort dN/dt=9,6.
Bereken de maximale waarde van N.
Deze snap ik totaal niet

Jan
20-1-2013

Antwoord

Bij a: als $p>0$ dan zijn er altijd $y$ waarvoor $py^2-6y+3p>0$; dat moet je vermeiden.
Bij b: Je wilt $py^2-6y+3p>0$ voor $y=1$
Bij c: bij dit soort differentiaalvergelijkingen loopt een oploskromme die een rechte lijn is altijd horizontaal; je wilt dus $py^2-6y+3p=0$ voor $y=3$.
Bij d: de oplossing moet stijgen (van $1$ richting $2$) dus het antwoord bij b heb je in ieder geval nodig, verder is $y=2$ een constante oplossing, dus $py^2-6y+3p=0$ voor $y=2$.

Bij de tweede a: de oplossing moet stijgen van $N(0)$ naar $150$; dat lukt niet bij elke waarde van $N(0)$.
Bij de tweede b: twee keer invullen en dan de twee vergelijkingen voor $p$ en $q$ oplossen.

kphart
22-1-2013