WisFaq!

De evolutie van verhoudingen

Hieronder vindt u de rij van Fibonacci, de ratio's en de delta (verschil) op de ratio's onderling:

1	2	3	5	8	13	21	34
1/1	2/1	3/2	5/3	8/5	13/8	21/13 34/21
1/1	-1/4	1/9	-1/25	1/64  -1/169  1/441 -1/1156

De laatste rij vormt de delta, meer bepaald het deel dat men van de bestaande verhouding moet optellen of aftrekken om de volgende verhouding te bekomen. Een voorbeeld: als in de derde rij staat -1/25 , dan moet men één vijfentwintigste van 5/3 aftrekken om 8/5 te bekomen. Het feit dat de delta's in absolute waarde als maar kleiner worden wijst op een convergentie (naar phi zoals reeds goed bewezen is in een ander artikel)

Maar ik wil nog even stilstaan bij de evolutie van de delta's omdat hun noemer in absolute waaarden steeds de inverse is van kwadraat van datzelfde fibonacci-getal . Zo is de inverse van 5 tot tweede macht gelijk aan 1/25. Dit is gemakkelijk aan te tonen als wij de omrekenigsfactor x uitrekenen tussen twee opeenvolgende ratio's in de Fibo-rij
(Fn-1/Fn-2) · x = Fn/Fn-1
x = (Fn · Fn-2)/ (Fn-1)²

De noemer is dus geen mysterie: gewoon het kwadraat van het vorige Fibo-getal.

Blijft nog één punt, de teller: Fn · Fn-2 is alternerend gelijk aan de noemer plus één of min één. In mijn voorbeeld is ed teller dan gelijk aan 8 · 3 = 24 = 25 - 1, wat dus verklaart waarom men één vijfentwintigste van de vorige ratio moet aftrekken om de nieuwe te bekomen. Ik begrijp echter niet waarom de noemer alternerend precies een eenheid groter of kleiner is dan de noemer. Ik ben zeker dat hier een logische verklaring achter zit maar kan deze niet vinden. Helpt u mij verder? Ik studeer wiskunde als algemene vorming omdat ik programmeer op mijn werk en ik kinderen heb die ik nu en dan ondersteun.

Peter Demasure
5-1-2013

Antwoord

Om van $\large\frac{5}{3}$ naar $\large\frac{8}{5}$ te komen moet je vermenigvuldigen met $\large\frac{24}{25}$. Dat is iets anders dan $-\large\frac{1}{25}$. Het verschil is $\large\frac{1}{15}$ en niet $\large\frac{1}{25}$. Kan het zijn dat je daar een 'denkfout' maakt?

Maar misschien heb je toch wel iets (her-)ontdekt:

$
F_{n - 1} \cdot F_{n + 1} - \left( {F_n } \right)^2 = \left( { - 1} \right)^n
$

Een bewijs met volledige inductie staat op De rij van Fibonacci en volledige inductie onder het kopje 'nog zoiets'.

Help dat?

WvR
7-1-2013