WisFaq!

Differentiaalvergelijking

Gegeven is de differentiaalvergelijking dy/dt=0,5t-y^2+4y.
a. De raaklijnen aan de oplossingskrommen in de punten (a, b) en (2a, 2b) zijn evenwijdig met de lijn l:y=6t-35.
Bereken exact de waarden van a en b.
Hier kom ik uit op a=18-8√3 v a=18+8√3 en b=√3 v b=-√3, maar weet niet of het klopt.
b. Er zijn twee oplossingskrommen die een top hebben op de lijn k:y=2t+4.
Bereken algebraïsch de coördinaten van deze toppen.
Hier stel ik 0,5t-y^2+4y=0 en krijg (0,4) en (-0,25;2,125)

Andrea
27-12-2012

Antwoord

Over de derde vraag.
a) Omdat dy/dt = 6 in de gegeven punten, leidt dit tot twee vergelijkingen, namelijk ¹/₂a - b² + 4b = 6 en a - 4b² + 8b = 6.
Vermenigvuldiging van de eerste vergelijking geeft a - 2b² + 8b = 12 en deze gecombineerd met de tweede geeft b² = 3 en dus b = √(3) of b = -√(3)
De eerste b leidt tot a = 2b² - 8b + 12 = 6 - 8√(3) + 12
De tweede b leidt tot a = 6 + 8√(3) + 12
Kortom, dit is wat je ook gevonden had.

b) We hebben dy/dt = 0 en y = 2t + 4.
Uit ¹/₂t - (2t + 4)² + 4(2t + 4) volgt -4t² - 7.5t = 0 wat leidt tot
t = -1.875 resp. t = 0
De eerste t geeft y = 0.25 en de tweede t geeft y = 4
We zitten dus geheel op het zelfde spoor!

MBL
27-12-2012