WisFaq!

Continue dynamische modellen

Mij is deze opgave voorgelegd, maar ik heb geen idee hoe ik het moet aanpakken. Zou u mij kunnen helpen?
Gegeven is het dynamische model dy/dt=0,5(y-1)(y-2)(5-y).
a. Schets de grafiek van y als functie van t voor y(0) = 4.
b. Voor welke waarden van y(0) is y dalend?
c. Stel een vergelijking op van de lijnen m en l die de oplossingskromme door het punt (8, 2) in dit punt onder een hoek van 45º snijden.

Andrea
23-12-2012

Antwoord

Je kunt nagaan dat
dy/dt<0 voor y$>$5
dy/dt=0 voor y=5
dy/dt>0 voor 2$<$y$<$5
dy/dt=0 voor y=2
dy/dt<0 voor 1$<$y$<$2
dy/dt=0 voor y=1
dy/dt>0 voor y$<$1
Als je van bovenstaande een plaatje met plusjes en minnetjes maakt, dan
a) volgt hieruit dat de grafiek van y als functie van t voor y(0)=4 begint in het punt (0,4), stijgt en asymptotisch nadert tot de lijn y=5.
Immers de lijn y=5 is de functie voor y(0)=5 en de oplossingsfuncties voor y(0)=4 en y(0)=5 kunnen geen gemeenschappelijk punt hebben.
b) y dalend is voor: y(0)$>$5 of 1$<$y(0)$<$2

c) In het punt (8,2) is dy/dt=0.
Lijnen die in dit punt een hoek van 45 graden maken met de oplossingskromme door dit punt hebben dus richtingscoefficient
1 of -1.
Er wordt je dus gevraagd de vergelijking van de lijnen door (8,2) op te stellen met rico 1 en met rico -1.

hk
24-12-2012