WisFaq!

Machten optellen

Hallo,

Dit is meer wat gehobby in wiskunde, dus geen huiswerk, maar ik ben wel nieuwsgierig naar het antwoord:

Ik had pas na een repetitie latijn niets te doen, en ben toen even iets gaan kladden op de achterkant van mijn blaadje.
Ik probeerde maar eens een formule te verzinnen voor de som van de kwadraten van 0 tot n. Dit bleek 1/3n³ + 1/2n² + 1/6n te zijn.

Hierna bleek de som van de derdemachten van 0 tot n berekenbaar te zijn d.m.v. 1/4n⁴ + 1/2n³ + 1/4n².
Ik heb toen ook maar eventjes geprobeerd met de som van de eerstemachten van n, dat was 1/2n² + 1/2n.

Bestaat er enige wetmatigheid om te kijken of er een formule is om te berekenen wat de som van de x-de machten van 0 tot y is, en als daar een formule voor is, wat die formule dan is?

en is hierover documentatie beschikbaar, want ik kon zo gauw niets vinden in Google.

Vriendelijke groet,
Arnoud.

Arnoud van der Leer
13-12-2012

Antwoord

Zo'n formule bestaat voor iedere x-macht, alleen krijgt hij steeds meer termen.
Voor x=1 tot x=10 kun je ze vinden op: Faulhaber's formula.
In ontbonden vorm kun je ze ook vinden op Power sum (formule 31 tot 40).

Je kunt ook kijken op Faulhaber's formula daar staat het een en ander over een afleiding.

hk
13-12-2012