WisFaq!

Uitwerking lineaire algebra

(cos(t), sin(t), 7) is een parametervergelijking van een cirkel in het vlak z=7. Maar lukt het eigenlijk ook om een parametervoorstelling te geven van een cirkel in een "schuin" vlak, zoals x+y+z=1?

als Antwoord hierop ontving ik:

Jawel: snijd het vlak x+y+z=1, dat op afstand (Ö3)/3 (HOE KOMT U HIER AAN) van de oorsprong O ligt, met de bol met straal 1 en middelpunt O.
De snijfiguur is een cirkel, waarvoor je een parametervoorstelling kunt vinden als volgt:

Uit x2+y2+z2=1 en x+y+z=1 volgt x2+y2+(1-x-y)2=1.
Beschouw dit als een vierkantsvergelijking in y en druk y uit in x, dus y=y(x). Deze functie y(x) kun je zelf vinden, hoop ik.(DIT LUKT ME DUS NIET)
--------------------------------------------------
Dan (x,y,z) = (x,y(x),1-x-y(x)). Dat is dan zo'n parametervoorstelling.
--------------------------------------------------

kan iemand helpen om dit op te lossen, hoe druk ik y uit in x?
Ik raak een beetje in de war bij die (1-x-y) in het kwadraat

Johan
3-12-2012

Antwoord

Je moet gewoon die term (1 - x - y)² uitwerken wat oplevert
1 + x² - 2x + 2xy - 2y + y².
Daarmee krijg je, alles tezamen nemend: 2x² + 2y² - 2x - 2y + 2xy = 0
Dit schrijf je nu als 2y² + (2x - 2)y + (2x² - 2x) = 0 en dit kun je nu lezen als een tweedegraads vergelijking in variabele y.
De abc-formule lost dan de y op, uitgedrukt in x.
Je hebt a = 2 en b = (2x - 2) en c = (2x² - 2x)
Je ziet aan dit drietal al dat de abc-formule vermoedelijk niet zal leiden tot 'leuke' resultaten. Met name als er onder het wortelteken niet iets moois verschijnt (dus een kwadraat), wordt het geen feest.
Om deze reden zie je de formules van figuren die liggen in schuine vlakken dan ook vrij weinig. Technisch is het misschien allemaal wel uitvoerbaar, maar de resultaten laten meestal geen handmatige berekeningen meer toe.
Hoe dan ook, veel plezier ermee!

MBL
3-12-2012