WisFaq!

Taylor reeks

Hi!Ik kom niet uit de volgende Taylorreeks, wat ik ook probeer. De vraag in mijn boek is als volgt:

Zet u(x,t+dt) uit als Taylor reeks over u(x,r) tot de derde orde.

Nu komt mijn antwoordenboek tot de volgende conclusie:
u(x,t+dt) = u(x,t) + ut(x,t)dt + 1/2 utt(x,t)dt^2 + 1/6uttt((x, t + lambda*dt)dt^3

met ut de afgeleide van u(x,t) naar t.

En ik zit volledig vast. Ik dacht dat de afgeleide naar x en t + dt genomen moesten worden, in plaats van naar t. En waar komt de lambda vandaan?

Jip
2-12-2012

Antwoord

Zo te zien moet je de eerste coördinaat vast houden en alles in termen van de tweede coördinaat doen; in dat geval het je het tweede-orde Taylor polynoom rond $(x,t)$, uitgedrukt in $dt$, dus $u(x,t)+u_t(x,t)dt+\frac12u_{tt}(x,t)dt^2$. De laatste term is de restterm van Langrange, de $\lambda$ is een getal tussen $0$ en $1$; je neemt namelijk $u_{ttt}$ in een punt tussen $(x,t)$ en $(x,t+dt)$.

kphart
5-12-2012