WisFaq!

Limieten bepalen

In mijn wiskundeboek staan wat voorbeelden van het oplossen van het bepalen van limieten. Hierbij word de formule omgeschreven naar heel iets anders.
Dit is wat er staat:
Bepaal lim (1 + 3x)^1/2x

Oplossing:
Stel 3x = p, dan is 2x = (2/3)*p en 1/2x = 3/2p.
We krijgen: lim (1+p)^3/2p = lim {(1 + p)^1/p}^3/2 = e^3/2

Al bij de eerste stap weet ik niet hoe ze komen aan de anders geschreven formule en wat ze doen bij de stappen.
Kan iemand mij dit proberen duidelijk te maken?

Lisa
22-11-2012

Antwoord

In je boek zul je de standaardlimiet Lim (1 + x)^(1/x) = e gezien hebben.
Wat ze nu in jouw opgave doen, is de vorm die achter het signaal Lim staat zó manipuleren dat hij gaat lijken op (1 + x)^(1/x)
Eigenlijk lijkt jouw vorm er al behoorlijk op! Het enige verschil is dat er tussen de haakjes 3x staat, maar in de exponent staat 2x.
Nu wordt 3x = p genoemd, en dus x = ¹/₃p en dus 2x = (2/3)p en dus 1/(2x) = 1/p . 3/2
En dan wordt het ten slotte: [(1 + p)^(1/p)]^(3/2)
De vorm tussen de vierkante haken is omgebouwd tot de standaardvorm en wordt in de limiet e.
Ten slotte dan e^(3/2)
Wat nog wel van belang is: in de standaardlimiet is het de bedoeling dat x naar oneindig gaat.
Als je een p invoert, dan moet p ook wel naar oneindig gaan. Hier klopt dat, want p = 3x

MBL
22-11-2012